relacion extra metodos

1

PROBLEMAS EXTRA (Relación E1)

1o ) Resuelva el siguiente programa lineal:
max

15x + 10y

s:a : 8
< 2x + 3y 60
2x + y 48
:
x; y 0:

Solución: Lp Solve (x = 21; y = 6), f (21; 6) = 375:
Única solución.
2o ) Resuelva el siguiente programa lineal:
min

10x + 30y

s:a : 8
< x + 5y 15
5x + y 15
:
x; y 0:

Solución: Lp Solve (x = 2:5; y = 2:5), f (2:5; 2:5) = 100:
Únicasolución. Se requiere el método de las penalizaciones.
3o ) Resuelva el siguiente programa lineal:
max

4x + 6y

s:a : 8
< 2x + 3y 15
2x + y 10
:
x; y 0:

Solución: Lp Solve (x = 0; y = 5; h1 = 0; h2 = 5), f (0; 5) = 30: Base óptima:fy; h2 g.
Solución múltiple. Tabla óptima actual:
0

CR !
3
1

1

0
1
=

0

2
3
4
3

2
2
2

0

3
1

1
0

1
3
1
3

10

1

30
0
1

0 5
1 5

15
10

Entra x en la base. Sale h2 :
5

min

5

= 7:5;

2
3

4
3

= 3:75

=) sale h2 :

Si sale h2 , base fx; yg
2
2

3
1

=

1

2
2

1 0
0 1

3
1

1
4
1
2

1
0
3
4
1
2

0
1

15
10

15
4
5
2

Solución: x = 15 ; y = 5 ; h1 = 0; h2 = 0 :
4
2
Solución general:
(x; y; h1 ; h2 )
0

=

(0; 5; 0;5) + (1

)

15 5
; ; 0; 0 ;
4 2

1:

4o ) Resuelva el siguiente programa lineal:
min

3x + 5y

s:a : 8
>
>
<

x 4
y 6
> 3x + 2y 18
>
:
x; y 0:

Solución: Lp Solve (x = 4; y = 6), f (4; 6) = 42:
Única solución.

5o ) Una empresa naval construye dos tipos de piezas, A y B, para un tipo determinado de barcos. Por cada unidad vendida, la empresa obtiene una ganancia
de200 e por pieza A y 150 e por pieza B: En la producción se utilizan dos
materiales: acero y aluminio, de los que se dispone diariamente de 80 Kg y 120
Kg, respectivamente. Las cantidades necesarias para cada pieza se re‡
ejan en
la siguiente tabla:
Kg/día A B
Acero
80
1 2
Aluminio 120
3 2
Se pide: plani…car la producción diaria de forma óptima, y establecer la ganancia
diaria óptima.Solución: 20 piezas diarias de tipo A y 30 piezas diarias de tipo B. Ganancia
óptima: 8 500 e.
2

6o ) Resuelva el siguiente programa lineal:
min

2x

4y

s:a : 8
< x 2y 0
3x + 3y 1
:
x; y 0:

Solución: Solución múltiple:
(x; y; h1 ; h2 )

=

(0; 0; 0; 1) + (1

0

)

2 1
; ; 0; 0 ;
9 9

1:

7o ) Resuelva el siguiente programa lineal:
max 2x + y
s:a : 8
< x+y 62x + 5y 3
:
x; y 0:

Solución: (x = 15; y = 0;

f (15; 0) = 3) :

8o ) Resuelva el siguiente programa lineal:
min

5x + 7y + 3z

s:a : 8
> 3x + 5y + z 20
>
<
x + 2y + 5z 4
> 2x + y + z 10
>
:
x; y; z 0:

Solución: (x = 0; y = 0; z = 0:8;

f (0; 0; 0:8) = 2:4) :

9o ) Resuelva el siguiente programa lineal:
max

2x + y

s:a : 8
< 4x + 2y 3
2x + y 2
:
x; y 0:
3Solución: a) Sobra la segunda restricción. b) Solución múltiple:
solución 1: (x = 0:75; y = 0; f (0:75; 0) = 1:5)
Solución 2: (x = 0; y = 1:5; f (0; 1:5) = 1:5)
Solución: (x; y) = (0:75; 0) + (1
) (0; 1:5) : 0
1:
10o ) Obtenga la extremos relativos de la siguiente función:
2

f (x; y) = (2x

2

y) + (x + y) :

Solución:
rf (x; y) = (4 (2x

y) + 2 (x + y) ; 2 (2x
= (10x2y; 4y

y) + 2 (x + y))

2x)

10x 2y = 0
=) (x = 0; y = 0) :
2x + 4y = 0
10
2

r2 f (x; y) =
det

=
=)

10

2
2

2

=

4

2
4
14 + 36 = 0

p

13p 7 > 0
+
7
13 > 0
r2 f (x; y) de…nida positiva en todo (x; y) :

f es estrictamente convexa en todos los puntos (x; y). Mínimo global en (0; 0).
f (0; 0) = 0:
11o ) Obtenga la extremos relativos de la siguientefunción:
2y + x2 + 2y 2 :

f (x; y) = 2xy
Solución:

rf (x; y) = (2x + 2y; 2x + 4y
2x + 2y = 0
=) (x =
2x + 4y = 2
2
2

r2 f (x; y) =
det

=
=)

2

2
2

=

4

2)

1; y = 1)
2
4

2

6 +4=0

p

5+3>0
p
3
5>0
r2 f (x; y) de…nida positiva en todo (x; y) :
4

f es estrictamente convexa en todos los puntos (x; y). Mínimo global en ( 1; 1).
f ( 1; 1) = 1:...