relacion problemas2

M´
etodos de b´
usqueda unidimensionales

1. En el m´etodo de Fibonacci resulta como u
´ltimo factor de reducci´on
ρN = 1/2.
¿Qu´e dificultad plantea esto? ¿C´
omo puede resolverse? ¿C´omo quedar´ıamodificado el factor
de reducci´
on despu´es de N pasos?
2. Sea f una funci´
on unimodal en el intervalo [5, 8]. Da un ejemplo de tolerancia deseada, de
forma que el m´etodo de la secci´
on ´
aureanecesite cuatro iteraciones, mientras que el m´etodo
de Fibonacci requiera u
´nicamente tres.
3. Sea f (x) = x2 + 4 cos x. Se pretende aproximar el m´ınimo x∗ de f en el intervalo [1, 2].
(a) Haz lagr´
afica de f en el intervalo dado.
(b) Utiliza el m´etodo de la secci´
on a´urea para localizar x∗ dentro de un incertidumbre de
0.2. Utiliza una tabla similar a
Iteraci´
on k ak bk f (ak ) f (bk )Nuevo intervalo
1
?
?
?
?
[?,?]
2
?
?
?
?
[?,?]
..
.
(c) Repite el apartado anterior usando el m´etodo de Fibonacci, con ε = 0.05. Usa una tabla
similar a
Iteraci´
on k ρk ak bk f (ak ) f (bk ) Nuevointervalo
1
?
?
?
?
?
[?,?]
2
?
?
?
?
?
[?,?]
..
.
(d) Aplica el m´etodo de Newton con el mismo n´
umero de iteraciones que en b) y x0 = 1.
4. Sea f (x) = 8e1−x + 7 log(x).
(a) Dibuja f (x) y verifica quees unimodal en el intervalo [1, 2]. Usa para ello cualquier
programa de ordenador.
(b) Escribe el algoritmo de la secci´on ´aurea e implem´entalo en cualquier lenguaje de programaci´
on. Apl´ıcalopara aproximar el m´ınimo de f con ε = 0.23, imprimiendo los
resultados intermedios.
(c) Repite el apartado anterior para el m´etodo de Fibonacci, con ε = 0.05.

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5. En este ejercicio se demuestra,paso a paso, que las factores de reducci´on ρ1 , . . . , ρN del
m´etodo de Fibonacci son ´
optimos.
(a) Muestra que 0 ≤ ρk ≤ 1/2, (1 ≤ k ≤ N ) y que
ρk+1 = 1 −

ρk
,
1 − ρk

(1 ≤ k ≤ N − 1)

(b)Demuestra que para k ≥ 2, se tiene que
1 − ρk = −

Fk−2 − Fk−1 (1 − ρ1 )
Fk−3 − Fk−2 (1 − ρ1 )

Indicaci´
on: Inducci´
on.
(c) Demuestra que para k ≥ 2, se tiene que
(−1)k (Fk−2 − Fk−1 (1 − ρ1 )) > 0...