Relaciones de equivalencia

´
CURSOS DE MATEMATICAS
Relaciones de equivalencia
FERNANDO REVILLA
http://www.fernandorevilla.es
Jefe del Departamento de Matem´aticas del IES Santa Teresa de Madrid
y profesor de M´etodos Matem´aticos de la Universidad UAX, Madrid
(hasta el curso 2008-2009).

Pr´
ologo
La primera parte de cada curso consta de una colecci´on de problemas
en donde se usan los correspondientes conceptos yteoremas . En la segunda
(secci´
on Problemas diversos), aparecen problemas de variada dificultad.

´Indice
1. Concepto de relaci´
on binaria

2

2. Relaci´
on de equivalencia, conjunto cociente

3

3. Partici´
on de un conjunto

6

4. Problemas diversos

6

c

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1

1

´ BINARIA
CONCEPTO DE RELACION

Nota. Los problemas que llevan el s´ımbolo ♦corresponden a demostraciones
de resultados te´
oricos.

1.

Concepto de relaci´
on binaria

1. Analizar si son reflexivas las relaciones en A = {a, b, c} :
R = {(a, a), (b, b), (c, c), (b, a)}, S = {(a, b), (b, b), (c, a)}.
La relaci´
on R es reflexiva pues para todo x ∈ A se verifica xRx. Sin
embargo, la relaci´
on S no es reflexiva pues por ejemplo a 
Ra.
2. Analizar si son sim´etricas lasrelaciones: a) En el conjunto de las rectas
del plano, rRs ⇔ r es perpendicular a s. b) En Z, xRy ⇔ x ≤ y.
a) Es sim´etrica, pues si r es perpendicular a s entonces s es perpendicular
a r. Es decir, rRs. implica sRr.
b) No es sim´etrica, pues por ejemplo 0R1, pero 1 
R0.
3. Analizar si son transitivas las relaciones: a) En Z, xRy ⇔ x ≤ y. b) En
A = {1, 2, 3}, R = {(1, 2), (2, 3), (1, 1)}.
a) Estransitiva pues si xRy e yRz, entonces x ≤ y e y ≤ z y por tanto
x ≤ z. Es decir xRz.
b) No es transitiva pues por ejemplo 1R2, 2R3, y 1 
R3.
4. Analizar si son antisim´etricas las relaciones: a) En Z, xRy ⇔ x ≤ y.
b) En R, xRy ⇔ |x| = |y|.
a) Es antisim´etrica pues si xRy e yRx, entonces x ≤ y e y ≤ x y por tanto
x = y.
b) No es antisim´etrica, pues por ejemplo (−1)R1, 1R(−1) y sin embargo,
−1 = 1.
5.En el conjunto P(U ) (partes de U ), se define la relaci´on ARB ⇔ A ⊂ B.
Estudiar cuales de las siguientes propiedades cumple: reflexiva, sim´etrica,
transitiva, antisim´etrica.
Reflexiva. Se cumple, pues para todo A ∈ P(U ) se verifica A ⊂ A.
Sim´etrica. No se verifica, si A ⊂ B con A = B, entonces B ⊂ A.
Transitiva. Se cumple, si A ⊂ B y B ⊂ C, entonces A ⊂ C.
Antisim´etrica. Se cumple, si A ⊂B y B ⊂ A entonces A = B.

2

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´ DE EQUIVALENCIA, CONJUNTO COCIENTE
RELACION

6. En el conjunto R se define la relaci´on xRy ⇔ |x| = |y|. Estudiar cuales
de las siguientes propiedades cumple: reflexiva, sim´etrica, transitiva, antisim´etrica.
Reflexiva. Se cumple, pues para todo x ∈ R se verifica |x| = |x|.
Sim´etrica. Se cumple, pues si |x| = |y| entonces |y| = |x|.
Transitiva. Se cumple,pues si |x| = |y| y |y| = |z| entonces |x| = |z|.
Antisim´etrica. No se verifica, por ejemplo | − 1| = |1|, |1| = | − 1| y sin
embargo −1 = 1.
7. Sea R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 1), (1, 2), (2, 3)} una relaci´on definida en
A = {1, 2, 3, 4}. Estudiar cuales de las siguientes propiedades cumple: reflexiva, sim´etrica, transitiva, antisim´etrica.
Reflexiva. No se verifica, pues 4 
R4.
Sim´etrica.No se verifica, pues 2R3 pero 3 
R2.
Transitiva. No se verifica, pues 1R2 y 2R3 pero 1 
R3.
Antisim´etrica. No se verifica, pues 1R2, 2R1 pero 1 = 2.

2.

Relaci´
on de equivalencia, conjunto cociente

8. En un conjunto A formado por bolas de colores, demostrar que la relaci´on
xRy si y s´
olo si x tiene el mismo color que y, es de equivalencia.
En efecto, toda bola tiene el mismo color que ellamisma (reflexiva). Si x
tiene el mismo color que y, entonces y tiene el mismo color que x (sim´etrica).
Si x tiene el mismo color que y e y tiene el mismo color que z, entonces x
tiene el mismo color que z (transitiva).
9. Sea A un conjunto formado por siete bolas numeradas del 1 al 7 y tales
que las bolas 1,2,3 son rojas, la 4 y 5 azules, y la 6 y 7 verdes. Se considera
en A la relaci´
on de...