Relaciones deequivalencia

3.5 Relaciones de equivalencia.
3.5.1 Introducción. Sea H el conjunto formado por todos los seres humanos. Considere una relación R definida en H de la siguiente manera:
Si x e y pertenecen a H, se dice que "x está en relación con y sí y sólo sí x es compatriota de y".
Con la anterior definición queda establecida la relación:

R = {(x, y) / x, y  H  "x es compatriota de y"}.

Estarelación es reflexiva puesto que toda persona es compatriota de si mismo. Es simétrica, puesto que "si x es compatriota de y, y es compatriota de x". Es transitiva, por que "si x es compatriota de y e y es compatriota de z, entonces x es compatriota de z".
Sea un elemento fijo de H. se denota por el conjunto formado por los compatriotas de a, es decir:
= {x  H / x R a}.

a está formado por lapoblación del país del cual es nativo a. Por ejemplo, si a es colombiano,
= {x  H / x es colombiano}.
Al individuo se le llama un "representante del conjunto a". Cualquier colombiano puede ser un representante. Eligiendo los diferentes representantes se obtiene la división de la humanidad en países.

Si se toma otro elemento fijo b  H y se forma el conjunto :
= {x  H / x R b},
puedenocurrir dos casos:

- Que a R b. En tal caso = .

- Que a b, y entonces y son conjuntos disjuntos, es decir, países diferentes.

Siguiendo este proceso se obtienen tantos conjuntos como países existen. Se puede verificar que cada conjunto es no vacío y que no existe intersección entre cada dos de ellos, además que la unión de todos ellos es el conjunto H.

Una relación que producesobre el conjunto en el cual se define una clasificación con las características anteriores, se llama relación de equivalencia.

3.5.2 Definición. Sea A un conjunto no vacío y R una relación en A. R es una relación de equivalencia en A, si R es reflexiva, simétrica y transitiva en A.

Ejemplo 1.
A es una relación de equivalencia en A (A  0).

Ejemplo 2.
La relación de paralelismodefinida entre la rectas del plano euclideo, es una relación de equivalencia, pero no lo es la relación de perpendicularidad.

Ejemplo 3.
Sean a y b enteros y n un número fijo positivo. En Z (conjunto de los enteros) se define una relación de la siguiente manera:

Se dice que a es congruente con b módulo n y se escribe, a  b (mod n) sí y sólo sí n (a  b), es decir,
a  b = kn con k  Z .En tal caso, el par (a,b) pertenece a la relación. Esta relación se llama congruencia módulo n.
Rn = {(x, y) / x  y mod n, x, y  Z }.

Rn es reflexiva, puesto que x  x mod n. x  x = 0 = 0n  0  Z .
Rn es simétrica. si x  y mod n, x  y = kn con k  Z . Luego, y  x = kn, k  Z . Es decir, y  x mod n.
Rn es transitiva en Z . Sean x  y mod n  y  z mod n, entonces:
x  y =k1n  y  z = k2n, k1 y k2  Z .
x  y  y  z = (k1  k2)n.
x  z = (k1  k2)n, (k1  k2)  Z .
sea k = k1  k2, luego x  z = kn y en consecuencia
x  z mod n.

3.5.3 Clases de equivalencia.
Definición. Sea A un conjunto no vacío, R una relación de equivalencia en A y x un elemento fijo en A. Al conjunto de todos los elementos de A relacionados con x, se le denomina clase deequivalencia de x con respecto a R y se le denota: x.
En consecuencia,

= {y  A / y R x}.
y   y  A  y R x.
y   y  A  y x.

El elemento fijo x se llama representante de clase.


3.5.4 Teorema. Sea R una relación de equivalencia en un conjunto no vacío A. Entonces,
•  0 para cualquier x  A.
• Si x, y  A, entonces =  = 0.
• Sean: 1, 2, ... , n las clases deequivalencia de A. Entonces, 1  2  ...  n = A.

Demostración:
• Como A  0, existe un x  A y puesto que x R x, entonces:
x 

• Sean x,y  A, x R y  x y.

Si x R y entonces = . En efecto, sea a  ,a R x, y como x R y, a R y,luego a . Por tanto,  . (1).


Sea a  y, a R y, como x R y,y R x,luego a R x, y por tanto a  . En consecuencia  . (2).

De (1) y...