Relaciones entre conjuntos

Unidad 4.- Relaciones

Relaciones entre conjuntos
Parejas ordenadas El orden de los elementos en un conjunto de dos elementos no interesa, por ejemplo: {3, 5} = {5, 3} Por otra parte, una pareja ordenada consiste en dos elementos, de los cuales uno designa el primer elemento, y el otro, el segundo. Tal pareja ordenada se escribe (a, b), en donde a es el primer elemento y b es el segundo. Dosparejas ordenadas (a, b) y (c, d) son iguales si y solamente si a = c y b = d. Producto cartesiano Considere dos conjuntos arbitrarios A y B. El conjunto de todas las parejas ordenadas (a, b) en donde a ∈ A y b ∈ B se llama producto o producto cartesiano de A y B. La definición de producto cartesiano puede extenderse fácilmente al caso de más de dos conjuntos. Se llama producto cartesiano de dosconjuntos A y B y se representa A x B, al conjunto de pares ordenados (a, b), tales que el primer elemento pertenece al primer conjunto y el segundo elemento al segundo conjunto. Es decir: A x B = {(a, b) / a ∈ A, b ∈ B} El producto cartesiano, en general, no es conmutativo. Es decir: A x B ≠ B x A. Puede ocurrir que los conjuntos A y B sean coincidentes. EJEMPLO Si A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3, 4},el producto cartesiano es: A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)} Se puede representar gráficamente por medio de puntos en un plano, como se muestra a continuación. Aquí, cada punto P representa una pareja ordenada (a, b) de números reales y viceversa; la línea vertical a través de P encuentra al eje x en a, y la línea horizontal através de P encuentra el eje y en b. A esta representación se le conoce como diagrama cartesiano.
B
4 3 2 1 a b c

A
1

Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo

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Hay otra manera de visualizar una relación y es a través de una representación gráfica, donde se destaquen los puntos en el plano que pertenecen a A y los puntos que pertenecen a B. Se trazan flechas que indicanla relación que existe entre cada elemento del conjunto A y su correspondiente en el conjunto B. A esta representación gráfica se le conoce como un diagrama de flechas.
A
a• b•

B

•1 •2 •3 •4

c•

Correspondencias y aplicaciones entre conjuntos1 A partir de la definición de producto cartesiano, introduciremos las relaciones más importantes que se pueden establecer entre los elementos dedos conjuntos dados. Correspondencias Dados dos conjuntos A y B, se denomina correspondencia ƒ entre A y B a un subconjunto del producto cartesiano de A por B. Al conjunto de los pares de una correspondencia se le denomina grafo, y se representa por G. Se definen también los siguientes conjuntos: • El conjunto A es el conjunto inicial o conjunto de partida, que es del que salen las flechas. • Elconjunto B es el conjunto final o conjunto de llegada, que es al que llegan las flechas. • El conjunto original es el conjunto formado por los elementos del conjunto inicial de los que parte alguna flecha. Por tanto, el conjunto original está incluido en el conjunto inicial. • El conjunto imagen es el conjunto formado por los elementos del conjunto final a los que llega alguna flecha. Por tanto,el conjunto imagen está incluido en el conjunto final.

1

El símbolo ∇ se lee “para cada”, “para toda” o “para cualquier” El símbolo ∃ se lee “existe” o “para alguna” El símbolo ∴ se lee “por lo tanto” igualmente que el símbolo ├ El símbolo ≡ se lee “lógicamente equivalente” o “sencillamente iguales”
2

Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo

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EJEMPLO Si A = {a, b, c}, B= {1, 2, 3, 4}, y un grafo G = [(a, 2), (b, 2), (b, 3), (c, 4)}. Vemos que G es un subconjunto de A x B, es decir, G ⊂ (A x B). La correspondencia está representada gráficamente en: a) un diagrama cartesiano.
B
4 3 2 1 a b c

A

b) Un diagrama de flechas.
A B

a• b• c•

•1 •2 •3 •4

• • • •

El conjunto inicial es el conjunto A. El conjunto final es el conjunto B. El conjunto...