RELACIONES_FUNCIONES

Profesorado de Informática - Ciencias de la Computación - INET – DFPD
Matemática Discreta usando el computador 2010 (Matemática I)

RESUMEN DE RELACIONES Y FUNCIONES
Producto cartesiano:
Dados dos conjuntos A y B, llamaremos producto cartesiano AxB ={(a,b)/a ∈ A ∧ b ∈ B}
Relación de A en B:
Dados dos conjuntos A y B, llamaremos relación de A en B a cualquier subconjunto de AxB.
Llamaremosrelación binaria en A, a cualquier subconjunto de AxA.

Propiedades de Relaciones de A en A
Para ejemplificar las propiedades de las relaciones utilizaremos el conjunto A={1,2,3,4}.
Propiedad reflexiva (o idéntica):
Una relación R sobre un conjunto A es reflexiva si para todo x ∈ A entonces (x,x) ∈ R. En otras
palabras una relación es reflexiva si todo elemento del conjunto sobre el que está definida,está
relacionado consigo mismo.
∀ x ∈ A se cumple que (x,x) ∈ R.
Ejemplo: R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} Otro ejemplo: R2 = { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (2,3), (1,4) }
Propiedad antirreflexiva, también llamada irreflexiva:
Una relación R sobre un conjunto A es antirreflexiva si para todo x ∈ A se cumple que (x,x) ∉ R, es
decir que ∀ x ∈ A se cumple que x no está relacionado consigo mismo.
Ejemplo: R = {(1,2), (2,1), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4) }
Propiedad simétrica:
Una relación R sobre un conjunto A es simétrica si para todo x ∈ A, y ∈ A, si (x,y) ∈ R entonces
(y,x) ∈ R.
Dicho de otra forma: ∀ x,y ∈ A se cumple que si (x,y) ∈ R entonces (y,x) ∈ R
Ejemplo: R = { (1,1), (1,3), (2,2), (2,4), (3,1), (4,2), (4,4) }
Propiedad antisimétrica :
Una relación R sobre un conjunto A es antisimétricasi para todo x ∈ A, y ∈ A,
si x R y e y R x entonces x=y.
De nuevo: ∀ x,y ∈ A se cumple que si (x,y), (y,x) ∈ R entonces x=y.
Ejemplo: R={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
Pregunta: Si el par (1,3) pertenece a la relación, ¿podría estar el par (3,1)?
Según la definición, si esta el (1,3) y está el (3,1) entonces debería ser 1=3, absurdo!!!
Propiedad asimétrica:
Unarelación R sobre un conjunto A es asimétrica si para todo x ∈ A, y ∈ A, si (x,y) ∈ R entonces
(y,x) ∉ R.
Dicho de otra forma: ∀ x,y ∈ A se cumple que si (x,y) ∈ R entonces (y,x) ∉ R
Ejemplo: R = { (1,2), (1,3), (2,4), (4,3) }
Los pares (n,n) no pueden estar, por definición. Las relaciones asimétricas son antirreflexivas.

Profesores: Germán Ferrari y Saúl Tenembaum
http://matematicagerman.blogspot.com/- http://www.x.edu.uy/inet1.htm

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Propiedad transitiva:
Una relación R sobre un conjunto A es transitiva si para todo x ∈ A, y∈ A, z∈ A si (x,y) ∈ R y (y,z) ∈
R entonces (x,z) ∈ R.
∀ x,y,z ∈ A se cumple que si (x,y), (y,z) ∈ R entonces (x,z) ∈ R.Ejemplo: R={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)}

Relaciones de Orden
Relación de orden parcial:
Una relación R sobre un conjunto A es una relación de orden parcial si R es reflexiva, antisimétrica y
transitiva.
Ejemplo: La relación “inclusión” entre conjuntos es de orden parcial.
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Reflexiva: ∀ A, se cumple que A ⊆ A.
Antisimétrica: ∀ A,B se cumple que si A ⊆ B y B ⊆ A entonces A=B
Transitiva: ∀A,B,C se cumple que si A ⊆ B y B ⊆ C entonces A ⊆ C

Observación: Existen conjuntos no vacíos que no son comparables, es decir que A ∩ B=∅, cumplen
que A no está incluido en B, y viceversa, B no está incluido en A.
Relación de orden total:
Una relación R sobre un conjunto A es una relación de orden total si R es de orden parcial, pero
además cumple que todos sus elementos están relacionados, esdecir que ∀ x,y ∈ A, se cumple
que x R y o bien y R x.
∀ x,y ∈ A, se cumple que (x,y) ∈ R o bien (y,x) ∈ R.
Ejemplo: La relación “menor o igual” en el conjunto de los números reales es de orden total.
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Obviamente cumple con las propiedades mencionadas
Además todos los elementos son comparables pues dados dos números reales x e y podemos
decidir si: x ≤ y, y ≤ x ó x=y, cosa que no ocurre con...