Relaciones ( matematicas Discreta )

Relaciones ( Matemáticas Discreta )

Definición. Una relación es un conjunto de parejas ordenadas.
Si A y B son dos conjuntos cualesquiera, R es una relación de A en B sí y sólo sí R es subconjunto de A x B.
Si R Ì A x A se dice que R es una relación de A en A o simplemente una relación en A.
0 y A x B son relaciones de A en B, puesto que 0 Ì A x B y A x B Ì A x B.


Si (x,y) Î R seescribe x R y y se lee "x está en relación con y".


Ejemplo :
Sean: A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6, 8}.
R1 = {(3, 2), (1, 8), (5, 4)} es una relación de A en B.
R2 = {(3, 8)} es una relación de A en B.
R3 = {(x, y) / x Î A Ù y Î B Ù x > y} = {(3, 2),(5, 2),(5, 4)}.
R4 = {(x, y) / x Î A Ù y Î B Ù x + y £ 7}
     = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (3, 2), (3, 4), (5, 2)}.
R5 = {(1, 5), (3, 3)} esuna relación de A en A.
R6 = {(2, 3), (6, 1)} es una relación de B en A.
R7 = {(3, 6), (1, 4),(5 ,8), (2, 1)} no es una relación de A en B y tampoco de B en A.
R8 = {(x, y) / x Î A , y Î B, x - y = 0} = 0.



Dominio de una Relación.
Definición. Sea R una relación. Se llama Dominio de R y se denota por D(R) al conjunto formado por todas las primeras componentes de las parejas ordenadas quepertenecen a R. Por lo tanto:


D(R) = { x / ($ y) (x, y) Î R}

En consecuencia,

x Î D(R) Û ($ y)((x, y) Î R).
x Ï D(R) Û (" y)((x, y) Ï R).

Rango de una Relación.
Definición. Sea R una relación. Se llama Rango de R y se denota por g(R) al conjunto formado por todas las segundas componentes de las parejas ordenadas que pertenecen a R. Por lo tanto:




g (R) = { y / ($ x) (x,y) Î R}
En consecuencia,
y Î g (R) Û ($ x)((x, y) Î R).
y Ï g (R) Û (" x)((x, y) Ï R).


Ejemplo .
D(R1) = {3, 1, 5} g (R1) = {2, 8, 4}
D(R2) = {3} g (R2) = {8}
D(R3) = {3, 5} g (R3) = {2, 4}
D(R4) = {3, 1, 5} g (R4) = {2, 4, 6}
D(R5) = {3, 1} g (R5) = {5, 3}
D(R6) = {2, 6} g (R6) = {3, 1}.


Ejemplo. Sea S = {(x, y) / x Î RÙy Î RÙy < x}.
El siguiente gráfico es unrepresentación cartesiana de S. La recta y = x no hace parte de S.

Ejemplo. Sea A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3}. Sea R la relación:
"x es menor que y"

Entonces, R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}.
              D(R) = {1, 2}, g (R) = { 2, 3}.




Teorema. Sea R una relación, A y B dos conjuntos. R es una relación de A en B sí y sólo sí D(R) Ì A y g (R) Ì B.

Relación inversa. Definición. Sea R unarelación. Entonces la relación {(y, x) / (x, y) Î R} se denomina relación inversa y se denota R-1. En consecuencia,
(y, x) Î R-1 Û (x, y) Î R.
(y, x) Ï R-1 Û (x, y) Ï R.
Si R es una relación de A en B, entonces R-1 es una relación de B en A.


Relación Idéntica.

Definición. Sea A un conjunto. La relación dada por: {(x, y) / x Î A Ù y = x} se denomina relación idéntica en A y se designa IA:En consecuencia:
(x, y) Î IA Û x Î A Ù y = x.
(x, y) Ï IA Û x Ï A Ú y ¹ x.

Ejemplo.

IR es la relación idéntica en los reales, es decir el conjunto de todos los pares ordenados de números reales que tienen ordenada y abscisa iguales. Su gráfica es la recta bisectriz del primero al tercer cuadrante.

Relación reflexiva en un conjunto.

Definición. R es una relación reflexiva en unconjunto A sí y sólo sí R es una relación en A y todo elemento de A está relacionado con sigo mismo. Es decir R es reflexiva en A si y sólo sí,
R Ì A x A Ù (" x Î A) ((x, x) Î R).
R no es reflexiva en A si y sólo si,
R Ë A x B Ú ($ x Î A) ((x, x) Ï R).


Ejemplo.

Sea A = {1, 3, 5}.
R1 = {(1, 3), (3, 5), (1, 1), (5, 1), (5, 5), (3, 1), (3, 3)} es reflexiva en A.
R2 = {(1, 1), (5, 3), (5,5), (3, 1)} no es reflexiva en A.
Ejemplo.
IA es reflexiva en A cualquiera sea A ¹ 0.
Ejemplo.
A2 es reflexiva en A cualquiera sea A ¹ 0.
Teorema. R es reflexiva en A sí y sólo sí IA Ì R.

Relación simétrica en un conjunto.
Definición. R es una relación simétrica en A sí y sólo sí R es relación en A y cualesquiera sean los elementos x,y de A se verifica que si x R y entonces y R x. En...