Relaciones metricas

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Contenido: Relaciones Métricas en una circunferencia
Teoremas sobre relaciones métricas en una circunferencia Teorema 1: Cuerdas congruentes de una misma circunferencia determinan arcos congruentes. Asimismo, arcos congruentes determinan cuerdas congruentes.

AB ≅ CD ⇔ AB ≅ CD

Teorema 2: Cuerdas congruentes de una misma circunferencia son equidistantes (están a lamisma distancia) del centro.

AB ≅ CD ⇒ OM ≅ O

Teorema 3: La simetral de una cuerda en una circunferencia, contiene al centro de la circunferencia. Del mismo modo, en toda circunferencia, la recta trazada desde el centro al punto medio de una cuerda corresponde a la simetral de la cuerda. s simetral de

AB ⇒ O ∈ s , MB ≅ MA ⇒ OM simetral de AB

Teorema 4: Dos segmentos tangentes a unacircunferencia trazados desde un mismo punto exterior a ella son congruentes. P: punto exterior a la circunferencia.

PA y PB segmentos tangentes ⇒ PA ≅ PB

Teorema 5: Si

AB y CD son cuerdas de una circunferencia que se cortan en un punto P, entonces: AP • PB = CP • PD
Teorema de las cuerdas

Teorema 6: Si desde un punto P, exterior a una circunferencia, se trazan dos rectas secantes,intersectándola en los puntos A y B, C y D, respectivamente, entonces:

AP • PB = PD • CP

Teorema 7: Si desde un punto P, exterior a un circunferencia, se traza una recta tangente en el punto T, y una recta secante en el punto en los puntos A y B, entonces:

PT 2 = PA • PB

Potencia de un punto: Si desde un punto P cualquiera se traza un secante que intersecta a una circunferencia en los puntosA y B, se llama potencia del punto P con respecto a la circunferencia, al producto de las longitudes de los segmentos PA y PB Potencia =

PA • PB

Observación: La potencia de un punto con respecto a una circunferencia es constante independiente de la secante trazada. Propiedad: Sea ABCDE un pentágono circunscrito a una circunferencia. Entonces:

m JA = m AF

( ) ( )

m FB = m BG

( )( )

m GC = m CH

( ) ( )

m HD = m DI

( ) ( )

m IE = m EJ

( ) ( )

Esta propiedad se puede generalizar para cualquier polígono circunscrito.

Desarrolle los siguientes ejercicios en su cuaderno: 1) En la figura, AP = 6 cm; PD = 4 cm; 2) En la figura, AP = 12cm ; AB = 9cm

PC = 8 cm. ¿Cuánto mide PB ?
A) 3 cm B) 4 cm C) 5 cm D) 6 cm E) 8 cm

PD = 4cm . ¿Cuánto mide CD
A) 4cm B) 5 cm C) 9 cm D) 27 cm E) 12 cm

3) Las circunferencias de centros O1 y O2 son tangentes entre sí. Sus radios miden 4 cm y 3 cm, respectivamente. AP = 18 cm. ¿Cuánto mide PQ? A) 16 cm B) 16 3 cm C) 4 2 cm D) 4 cm E) 8 2 cm 5) En la figura, PT es tangente a la circunferencia en T . AP = 2cm ; AB = 6cm. ¿ Cuánto mide PT ? A) 2 3 cm B) 3 2 cm C) 4 cm D) 16 cm E) 12 cm

4) En la figura , AP= 4 cm; PB = 12 cm

CP = 6 cm. ¿Cuánto mide CD ?
A) 2 cm B) 8 cm C) 14 cm D) 24 cm E) 48 cm

6) El cuadrilátero ABCD está circunscrito en la circunferencia, siendo P , Q , R y S los puntos de tangencia. PB = 2 cm; CQ = 3 cm; DR = 4 cm; AS = 6 cm. ¿Cuál es el perímetro de la figura? A) 15 cm B) 30 cm C) 60 cm D) 16 cm E) Otro valor R

7) En la figura, O es el centro de la circunferencia deradio 5 cm; AB = 8 cm. ¿Cuánto mide OP ? A) 1 cm B) 2 cm C) 3 cm D) 4 cm E) Falta información

8) En la figura , AB es diámetro de la circunferencia; PT es tangente a la circunferencia en el punto T ; TP = 12cm ; BP = 8cm . ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia? A) 4 cm B) 5 cm C) 6 cm D) 9 cm E) 10 cm T

9) La circunferencia está inscrita en el triángulo ABC ; P , Q y R son los puntos detangencia. el perímetro del triángulo es 40 cm y BP = 7 cm;

10) En la figura, OP = 3 cm; AB es diámetro de la circunferencia;

CP = PD = 4 cm. ¿Cuánto mide
el diámetro de la circunferencia? A) 4 cm B) 5 cm C) 6 cm D) 8 cm E) 10 cm

AB = 15 cm. ¿Cuánto mide CQ ?
A) 5 cm B) 6 cm C) 7 cm D) 8 cm E) Falta información 11) En la figura, PQ es tangente, entonces x mide: A) 24 B) 31 C) 96 D)...