RELACIONES SOBRE CONJUNTOS





RELACIONES SOBRE CONJUNTOS
 Una relación es un conjunto de parejas ordenadas. 
Si A y B son dos conjuntos cualesquiera, R es una relación de A en B sí y sólo sí R es subconjunto de A x B. 
Si R Ì A x A se dice que R es una relación de A en A o simplemente una relación en A.  0 y A x B son relaciones de A en B, puesto que 0 Ì A x B y A x B Ì A x B.
Una relación, de los conjuntos  esun subconjunto del producto cartesiano

Una relación binaria es una relación entre dos conjuntos.
El concepto de relación implica la idea de enumeración, de algunos de los elementos, de los conjuntos que forman tuplas.

Un caso particular es cuando todos los conjuntos de la relación son iguales:  en este caso se representa  como , pudiéndose decir que la relación pertenece a A a la n.Ejemplo 1:
Sean: A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6, 8}.
R1 = {(3, 2), (1, 8), (5, 4)} es una relación de A en B.
R2 = {(3, 8)} es una relación de A en B.
R3 = {(x, y) / x  A  y  B  x  y} = {(3, 2),(5, 2),(5, 4)}.
R4 = {(x, y) / x  A  y  B  x  y  7}
     = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (3, 2), (3, 4), (5, 2)}.
R5 = {(1, 5), (3, 3)} es una relación de A en A.
R6 = {(2, 3), (6, 1)} es unarelación de B en A.
R7 = {(3, 6), (1, 4),(5 ,8), (2, 1)} no es una relación de A en B y tampoco de B en A.
R8 = {(x, y) / x  A , y  B, x  y = 0} = 0

EJEMPLO 2
Sea A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3}. Sea R la relación:
"x es menor que y"

Entonces, R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}.
              D(R) = {1, 2},  (R) = { 2, 3}. 




RELACIONES EVENTUALES SOBRE UN CONJUNTO
El interés deconsiderar relaciones definidas en un conjunto a radica en el hecho de que si a A la pareja (a,a) puede estar en la relación o que si la pareja (a,b) forma parte de la relación puede estar también su simétrica (b,a) puesto que cada elemento de A puede ser primer componente o segunda componente .

RELACION REFLEXIVA
 R es una relación reflexiva en un conjunto A sí y sólo sí R es una relación en A ytodo elemento de A está relacionado con sigo mismo. Es decir R es reflexiva en A si y sólo sí,
R Ì A x A Ù (" x Î A) ((x, x) Î R).
R no es reflexiva en A si y sólo si,
R Ë A x B Ú ($ x Î A) ((x, x) Ï R).

EJEMPLO
Sea A = {1, 3, 5}.
R1 = {(1, 3), (3, 5), (1, 1), (5, 1), (5, 5), (3, 1), (3, 3)} es reflexiva en A.
R2 = {(1, 1), (5, 3), (5, 5), (3, 1)} no es reflexiva en A. 



RELACIONSIMETRICA
 R es una relación simétrica en A sí y sólo sí R es relación en A y cualesquiera sean los elementos x,y de A se verifica que si x R y entonces y R x. En consecuencia:
R es simétrica en A Û R Ì A x A Ù (" x)(" y) ( x R y Þ y R x).
R no es simétrica en A Û R Ë A x A Ú ($ x)($ y) (x R y Ù y x).

EJEMPLO
Sea A = {3, 4, 2} entonces:
R = {(2, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 2), (4, 4)} es simétricaen A.
S = {(3, 2), (4, 3), (2, 2), (3, 4)} no es simétrica en A. 

RELACION ANTISIMETRICA
 R es una relación antisimétrica en A sí y sólo sí R es una relación en A y cualesquiera que sean x,y de A se verifica que:
Sí x R y Ù y R x entonces x = y.
En consecuencia:
R es antisimétrica en A equivale a decir:
R Ì A x A Ù (" x)(" y) ( x R y Ù y R x Þ x = y)
R no es antisimétrica en A equivalea decir:
R Ë A x A Ú ($ x)($ y) ( x R y Ù y R x Ù x ¹ y)


EJEMPLO
I A es antisimétrica en A. 
Ejemplo 15.
Sea A = {2, 4, 6} entonces:
R = {(2, 2), (4, 4)} es antisimétrica en A.
S = {(2, 4)} es antisimétrica en A.
T ={(4, 6), (2, 2), (6, 4), (4, 2)} no es antisimétrica en A 

RELACION TRANSITIVA
R es una relación transitiva en A sí y sólo sí R es una relación en A y cualquiera seanx, y, z pertenecientes a A se verifica que:
Sí x R y Ù y R z, entonces x R z.
En consecuencia:
R es transitiva en A equivale a decir:
R Ì A x A Ù (" x)(" y)(" z) ( x R y Ù y R z Þ x R z)
R no es transitiva en A equivale a decir:
R Ë A x A Ú ($ x)( $ y)($ z) ( x R y Ù y R z Ù x z).


EJEMPLO


Sea = {2, 4, 6, 3} entonces:
R = {(2, 2), (2, 3), (4, 6), (6, 2), (4, 2), (4, 3), (6, 3)} es...