Relaciones_y_funciones

Unidad nº 1: Relaciones y funciones
1. CONJUNTO PRODUCTO:
Dados dos conjuntos A y B se llama conjunto producto o producto cartesiano de A x B al conjunto que
consta de todos los pares ordenados cuyas primeras componentes son de A y las segundas
componentes de B, simbólicamente:
A x B = { (x, y) / x ∈ A ∧ y ∈ B }
Es posible que A = B en cuyo caso ambas componentes de los pares son de A:
A x A = {(x, y) / x ∈ A ∧ y ∈ A }
En general A x B ≠ B x A

2. RELACIÓN:
Relación binaria de A en B es cualquier subconjunto del conjunto producto A x B. Por lo tanto también es
un conjunto de pares ordenados, simbólicamente:
R = { (x, y) / ( x ∈ A ∧ y ∈ B ) ∧ x R y} o bien

R = { (x, y) / x ∈ A ∧ y ∈ B ∧ ( x, y) ∈ R}

El conjunto de los elementos de A que participan de la relación se denomina Dominio, alconjunto de los
elementos de B que participan en la relación se lo denomina imagen, en símbolos:
Dom(R) = { x / x ∈ A ∧ ( x, y) ∈ R}

Im (R) = { y / y ∈ B ∧ ( x, y) ∈ R}

Dom(R) ⊂ A

Im (R) ⊂ B

Tenga en cuenta que puede ser A = B, en ese caso la relación se denomina relación binaria interna:
R = { (x, y) / ( x ∈ A ∧ y ∈ A ) ∧ x R y}
Las relaciones binarias internas pueden verificar ciertaspropiedades:
Propiedad reflexiva:

(∀ a ∈ A) : a R a
o bien que (a, a) ∈ R

Propiedad simétrica:

(∀ a ∈ A) (∀ b ∈ A): a R b ⇒ b R a
o bien si (a, b) ∈R ⇒ (b, a) ∈R

Propiedad antisimétrica: (∀ a ∈ A) (∀ b ∈ A): a R b ∧ b R a ⇒ a = b
o bien si (a, b) ∈R ∧ (b, a) ∈ R ⇒ a = b
Propiedad transitiva:

(∀ a ∈ A) (∀ b ∈ A) (∀ c ∈ A): a R b ∧ b R c ⇒ a R c
o bien si (a, b) ∈R ∧ (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R

Si unarelación binaria interna verifica las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva es una relación de
equivalencia.
Si una relación binaria interna verifica las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva es una relación
de orden.
Existen dos tipos de relaciones de orden, el orden total: en esta relación todos los pares son
comparables, por ejemplo la relación “menor o igual” definida en elconjunto IR de los números reales; y
el orden parcial: en este tipo de relación de orden pueden existir pares no comparables por ella, un
ejemplo lo constituye la inclusión definida en un conjunto de partes.

3. FUNCIÓN
Una función de A en B es una relación que cumple con las condiciones de existencia y unicidad, las
que pueden sintetizarse diciendo que para todo elemento de A existe un únicoelemento de B con el cual
se relaciona.
Álgebra y Geometría Analítica

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Prof. Ana María Nuñez

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Unidad nº 1: Relaciones y funciones
En consecuencia el dominio de una función coincide con el conjunto A.
Recuerde que eventualmente puede ser A = B
En general el esquema que se suele utilizar para representar funciones numéricas es el siguiente:
f:A →B
tal que
x → f (x) = y
Las funciones numéricaspueden representarse en un par de ejes cartesianos ortogonales, quede bien
claro que esa gráfica es sólo una representación, ya que una función es un conjunto de pares
ordenados que cumple ciertas condiciones ya enunciadas.
Clasificación de funciones:
Sea una función f de A en B analizaremos en que condiciones es inyectiva, suryectiva o biyectiva.
Tenga presente que dominio (Dom (f) ) es elconjunto que contiene a las primeras componentes de los
pares ordenados de la relación, y que coincide en una función con A. El conjunto imagen ( Im (f) ) es el
que contiene a las segundas componentes de los pares ordenados en cuestión, y está incluido en B.
Una función es inyectiva si a elementos distintos en el dominio corresponden elementos distintos en la
imagen, en símbolos:
x ≠ x’ ⇒ y ≠ y’
Unafunción es suryectiva si el conjunto imagen coincide con el conjunto de llegada, es decir: Im (f) = B
Una función es biyectiva si es inyectiva y suryectiva a la vez.

Función compuesta:
Considere dos funciones: f de A en B tal que x → f(x) y g de B en C tal que x → g(x), la función f o g de
A en C es aquella que asigna a x el elemento fog (x) tal que: f o g (x) = g ( f (x) )
El siguiente diagrama...