RELACIONES Y FUNCIONES 1

ESCUELA PROFESIONAL DE ING. CIVIL
MATEMÁTICA I
Prof. Percy Salguero Huayllas

email: impar004@hotmail.com

RELACIONES Y FUNCIONES
RELACIONES REALES
RELACIONES REALES
DEFINICIÓN.- R es una relación real si y solo si R     , es decir:





R  (x, y)  2 / E(x, y)  0

De la definición se desprende:

Dom(R)   x  / (x, y)  R

Ran(R)   y  / (x, y)  R
GRAFICO DE UNA RELACION REALDada la relación real:





R  (x, y)  2 / E(x, y)  0

Para trazar el grafico de dicha relación real se siguen los siguientes pasos:
1. Determinar el dominio y rango de la relación real
Dom(R)  Despejamos “y” de la ecuación E(x, y)  0

Ran(R)  Despejamos “x” de la ecuación E(x, y)  0
En ambos casos se observa los valores que toman las variables respectivamente

2. Determinar lasintersecciones con los ejes coordenados
Con EJE(X)  En la ecuación E(x, y)  0 hacemos que y  0 , luego el punto de
intersección será (x, 0)

Con EJE(Y)  En la ecuación E(x, y)  0 hacemos que x  0 , luego el punto de
intersección será (0, y) .

3. Determinar las simetrías
Simetrico EJE(X)  Se debe cumplir que E(x,  y)  E(x, y)
Simetrico EJE(Y)  Se debe cumplir que E(x, y)  E(x, y)
SimetricoEJE(O)  Se debe cumplir que E(x,  y)  E(x, y)

4. Determinar las asíntotas
Las asíntotas son todas aquellas rectas paralelas o perpendiculares, que se
originan de aquellos valores los cuales no puede tomar la ecuación E(x, y)  0

EJEMPLOS:





1. Esbozar la grafica de la relación R  (x, y)  2 / y 2  x  2  0
Solución
Tabulando se tiene:
x

y x2

2

0

3

 1

4

 2

5
6

 3
2

17

 5

2

2

1
1

3

2

4

5

6

Dom(R)   2,  

Ran(R)  





2. Esbozar la grafica de la relación R  (x, y)  2 / y 2  x 2  1
x

y x2 1

0

1

1
 2

2

 5

3

 10

4

 17

2

1

3

2 1
1

1

3

2

2

Dom(R)  

Ran(R)   , 1  1,  





3. Discutir y graficar la relación R  (x, y)  2 / x 2  y 2  6x  4 y  4  0
Solución
Tabulando se tiene:

1

x

y 2  9  (x  3) 2

0

-2

1

2  5

2

2  8

3

-5 y 1

3

4

2  8

4

5

2  5

5

1

1
2

1

2

3

4

5

6

6
Donde

-2

Dom(R)  0, 6
Ran(R)   5, 1



4. Graficar la relación R  (x, y)  2 / x 2 y  x 2  y  0



Solución
Calculando el dominio y rango de la relación, en efecto:

x 2y  x 2  y  0
x 2y  y  x 2
y(x 2  1)  x 2
x2
y 2
x 1

, x  1 ,  1  Dom(R)   1, 1

En forma similar para hallar el rango, esto es:

x 2y  x 2  y  0
x 2y  x 2  y
x 2 (y  1)  y
x

y
y
, y  1 donde
 0  Ran(R)   , 0    1,  
y1
y1

Luego según la forma de E(x, y)  x 2 y  x 2  y  0 , la grafica de dicha relación es
simétrica al eje Y debido al término x 2 , mas no es simétrico al eje X.
Luego los puntos de intersección son:

Si x  0  y  0
  (0, 0)
Si y  0  x  0 
Las asíntotas se obtiene de x  1 , 1 y  1 , entonces x  1 , 1

y  1.

Tabulando se tiene:
x

2
7 / 4
3 / 2
5 / 4
…..

0
1 / 4
1 / 2
3 / 4

x2
y 2
x 1
4/3
49 / 33
9/5
25 / 9
…..
0

1 / 15
1 / 9
9 / 7

3
2

1

3

2

1
1
2

3

1

2

3



5. Graficar la siguiente relación R  (x, y)  2 / x 2 y 2  4x 2  4 y 2  0



Solución
En forma similarhallamos el dominio y el rango, en efecto:

E(x, y)  x 2 y 2  4 x 2  4 y 2  0
y 2 (x 2  4)  4 x 2
4x 2
y 2
, x  2, 2
x 4
 Dom(R)  , 2  0   2, 
Además se tiene:

E(x, y)  x 2 y 2  4 x 2  4 y 2  0
x 2 (y 2  4)  4 y 2
4y 2
x 2
, y  2, 2
y 4
Ran(R)  , 2  0   2, 
Luego el único punto de intersección será el punto (0, 0) y de acuerdo a la forma
de la ecuaciónE(x, y)  0 , la grafica será simétrica al eje X , Y y al origen, ahora
tabulando valore se tiene:

 2

2

x

4x 2
y 2
, x  2, 2
x 4

…..

……

4
3
2.5

2.3
2.7
3.3

…..

…..

2.5
3
4

3.3
2.7
2.3

……

…….

3
2

1
3

2

1
1

1

3

2

2

3





6. Graficar la siguiente relación R  (x, y)  2 / x 2 y 2  y 2  x  0 (EJERCICIO)
GRAFICA DE RELACIONES COMPUESTAS
Usando las...