Relaciones y Funciones

12345

6

78

901

567

8

90

Mate

m

a
á t i c 234

Tutorial
MT-b15

Matemática 2006
Tutorial Nivel Básico
Relaciones y Funciones

Matemática 2006

Tutorial

Relaciones y Funciones
Marco teórico:
1. Producto cartesiano:
El producto cartesiano de dos conjuntos A x B se define como el conjunto de todos los
pares ordenados que se pueden formar con un elementoperteneciente al conjunto A y
un elemento del conjunto B. Los elementos de A x B son pares ordenados. Cada par que se
forma con un elemento del conjunto A y uno del conjunto B, (exactamente en ese orden)
recibiendo el nombre de par ordenado. Los elementos del producto cartesiano se colocan
entre paréntesis, separados por una coma.
Ejemplo: A = {1,2,3} posee 3 elementos B = {x,y} posee 2elementos
A x B = {(1,x); (1,y); (2,x); (2,y); (3,x); (3,y)} posee 6 elementos (6 pares ordenados)

2. Relación:
Se define como relación entre los conjuntos A y B a un subconjunto del producto cartesiano
A x B. Este producto cartesiano puede estar formado por un solo par ordenado, varios, todos
o ninguno de los que forman parte de A x B, por lo tanto:
relación

AxB

3. Función:
Sean A y Bconjuntos no vacíos, f es una función de A en B , si y sólo si f es una relación de
A en B de modo que a cada elemento de A le corresponde uno y sólo un elemento de B.
También podríamos decir que es una relación en la cuál a cada preimagen le corresponde una
y sólo una imagen.
(Todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones)

4. Elementos de una función
4.1Dominio: Corresponde a los elementos del conjunto de partida, a cada uno de estos
elementos se les conoce como las preimágenes.
4.2 Codominio: Corresponde a los elementos del conjunto de llegada, a casa uno de estos
elementos se les conoce como las imágenes.

2
CEPECH Preuniversitario, Edición 2006

Matemática 2006

4.3 Rango o recorrido: Corresponde al subconjunto de imágenes que poseenpreimagenes,
o sea el recorrido es un subconjunto del Codominio
Ejemplo:

1

x

2

y

3

z

Conjunto de partida

Conjunto de llegada

Dominio: {1,2,3}
Codominio: {x,y,z}
Recorrido: {x,y}

5. Clasificación de funciones:
5.1 Función Epiyectiva (o Sobreyectiva)
Sea f una función de A en B , f es una función epiyectiva , si y sólo si cada elemento de B
es imagen de al menos unelemento de A.
Ejemplo:
A = {f,a,i,r,l}
B = { 2 ,4 ,6 ,8 }
f = { ( f ,2 ) ,( a ,8 ) ,( i ,4 ) ,( r ,6 ) ,( l ,8 ) }
5.2 Función Inyectiva
Sea f una función de A en B, f es una función inyectiva , si y sólo si cada elemento de B es
imagen de a lo más un elemento de A.
Ejemplo:
A = {x,y,z}
B = { 10 , 13 , 20 , 35 }
f = { ( x , 35 ) , ( y , 10 ) , ( z , 20 ) }

3
CEPECHPreuniversitario, Edición 2006

Matemática 2006

Tutorial
5.3 Función Biyectiva
Sea f una función de A en B , f es una función biyectiva, si y sólo si f es epiyectiva e inyectiva
a la vez .
Ejemplo:
A = {v,w,x,y}
B = { 1 , 2 , 3 , 4}
f = { ( v , 1 ) , ( w , 2 ) , ( x , 3 ) , ( y , 4 )}
Observar que:
Si f es una función biyectiva , entonces tiene función inversa f –1 ,la cual también es biyectiva.6. Función inversa:
Dada una función f(x), su inversa es otra función, designada por f –1(x) de forma que se verifica:
si f(a) = b, entonces f -1(b) = a
Para encontrar la función inversa de una función dada debemos:
a) Despejar la variable independiente x.
b) Intercambiar la x por la y, y la y por la x.
La función así obtenida es la inversa de la función dada.
Ejemplo: encontrar la funcióninversa de y = 7x –10
y + 10
7
x + 10
y=
7

Primero, despejamos la variable independiente x de donde resulta x =
Segundo, intercambiamos ambas variables, de donde resulta
Luego, la función inversa de y = 7 x –10 es y =

7. Valorización de funciones:

x + 10
7

Consiste en reemplazar la x de la función (también conocida como variable independiente), por
el valor en cuestión de...