Relaciones y funciones

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE FACULTAD DE MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Primer Semestre 2007 MAT 1004 ∗ Soluci´n I2 o 1. (a) 4 ptos Grafique la relaci´n R = {(x, y) ∈ R2 / |x| − 1≤ y ≤ 1 − x2 }. Justifique. o Soluci´n: o El gr´fico de R es la regi´n que est´ bajo la par´bola y = 1 − x2 ya que a o a a 2 y ≤ 1 − x y sobre la curva y = |x| − 1 ,pues y ≥ |x| − 1 con −1 ≤ x ≤ 1 , −1 ≤y ≤ 1 . Es decir el gr´fico de R es la regi´n comprendida entre la par´bola y la a o a curva y = |x| − 1.

(b) 2 ptos Resuelva la ecuaci´n log3 (x) + log3 (x − 2) = 1 o Soluci´n: o Restricci´n: x >2. o

log3 (x) + log3 (x − 2) = 1 −→ log3 (x(x − 2)) = 1 −→ (x(x − 2)) = 3 −→ x2 − 2x − 3 = 0 −→ (x + 1)(x − 3) = 0 −→ x = −1 , x = 3 Luego S = {3} 1 2. Dada la funci´n y el gr´fico de h(x) = (ex −e−x ) o a 2 (a) 2 ptos Grafique la funci´n h(−x) o Soluci´n: o

(b) 4 ptos √ Resuelva la ecuaci´n h(x) = 8 o Soluci´n: o

1 x (e − e−x ) 2 ex − e−x √ e2x − 4 2 ex − 1 √ u2 − 4 2 u − 1

=

√

8multiplicando por ex si hacemos u = ex el discriminante = 36

√ = 4 2 = 0 = 0

(u − u1 )(u + u2 ) = 0 √ √ con u1 = 2 2 + 3 y con u2 = 2 2 − 3 < 0. Como u = ex √ −→ ex = 2 2 + 3 √ −→ x = ln(2 2 +3) (el n´mero negativo no sirve, ya que ex > 0, ∀x) u

3. Decida si las siguientes afirmaciones son V o F. Justifique su respuesta. (a) Si R = { (x, y) ∈ R2 / y 2 ≤ x ≤ 1 } entonces Rec R = [−1, 1]Soluci´n: o Verdadero, ya que y 2 ≤ x ≤ 1 −→ y 2 ≤ 1 −→ |y| ≤ 1 −→ −1 ≤ y ≤ 1. Otra manera: El gr´fico de la relaci´n es la regi´n del plano limitada por la a o o 2 par´bola y = x y la recta x = 1 : a1

–1

(b) El dominio de la relaci´n R = {(x, y) ∈ R2 / − 1 − ln(x) ≥ 0} es R+ o Soluci´n: o Falso ya que si x = e no se cumpliria −1 − ln(x) ≥ 0

4. Sean f : R− −→ R− ,

f (x) = −x2 y g : R−−→] − ∞, −2[ , g(x) = x − 2

(a) 2 ptos Grafique la funci´n f + g , indicando cu´l es su m´ximo dominio. o a a Soluci´n: o Dom(f + g) = R− y (f + g)(x) = −x2 + x − 2

6

4 y 2

–3...