RELACIONES Y FUNCIONES

I. RELACIONES Y FUNCIONES


PAREJAS ORDENADAS

Una pareja ordenada se compone de dos elementos “ x ” y “ y ”, escribiéndose ( x , y) donde “ x ” es el primer elemento y “ y ” el segundo elemento. Teniéndose que dos parejas ordenadas ( x , y) y ( z , w) serán iguales si x = z y y = w .

1.1. PRODUCTO CARTESIANO

Definición:

El producto cartesiano de dos conjuntos A y B (se simboliza AxB ) es elconjunto de todas las parejas ordenadas ( x , y), tales que “ x ” pertenece al primer conjunto A y “ y ” pertenece
al segundo conjunto B , es decir: AxB = { (x , y ) x ∈ A, y ∈B}


Nota: Se da por hecho, que el estudiante recuerda el conjunto de los números reales ( ) y su representación sobre una línea recta, así como los intervalos de números reales:




































17EJEMPLOS

1) Con los conjuntos A = {1,2,3} y B = {a,b}, obtener los productos cartesianos AxB y BxA

Solución

Si el conjunto A tiene 3 elementos y el conjunto B tiene 2 elementos,

entonces el producto cartesiano AxB y el BxA tendrán 3x2 = 6 elementos

(parejas ordenadas).

AxB = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}

BxA = {(a ,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)}

Véase queAxB ≠ BxA , esto es, el producto cartesiano no es conmutativo

2) Sean los intervalos abiertos A = (1,3) y B = (2,4) subconjuntos de , obtener los

productos cartesianos AxB y BxA .

Solución

En este caso el conjunto A = (1,3 ), corresponde al intervalo abierto de todos los números reales comprendidos entre 1 y 3, y el conjunto B = (2,4), corresponde también al intervalo

abierto de todos losnúmeros reales entre 2 y 4, por consiguiente, AxB y BxA tendrán un número infinito de elementos (parejas ordenadas) y sólo los representaremos gráficamente como se muestra a continuación, representando los elementos del primer conjunto sobre el eje horizontal y los del segundo sobre el eje vertical.












Obsérvese que las líneas punteadas indican que no se incluye la frontera de la regiónque representa AxB y BxA , por ser intervalos abiertos de números reales, que no incluyen los extremos del intervalo tanto el conjunto A como el B .

3) Sean A = [− 2,3) y B = [2,4] subconjuntos de , obtener el producto cartesiano AxB y

BxA

Solución




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En los intervalos A = [− 2,3) y B = [2,4], el corchete indica que se debe incluir el extremo de

dicho intervalo, por lo que en lasgráficas que indican este producto cartesiano, si se incluye la frontera donde es cerrado dicho intervalo, como se muestra a continuación:
















4) Para A = { x ∈ /1 < x < 5} y B = { y ∈ /− 1 < y ≤ 2}, obtener el producto cartesiano AxB y

BxA

Solución

El conjunto A y B es otra forma de representar a los intervalos de estos conjuntos de números reales, lo cual es A = { x ∈ /1 < x < 5} = (1,5)y B = { y ∈ /− 1 < y ≤ 2} = ( −1, 2].













5) El producto cartesiano x genera todo el plano cartesiano, donde cada punto “ P ” del plano representa un par ordenado (x, y) de números reales, trazando una recta vertical por

el punto “ P ” hasta cortar al eje horizontal en “ x ” y una recta horizontal por “ P ” hasta cortar al eje vertical en “ y ”.

Solución













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EJERCICIOS

1)Sea A = {− 2,0,3,7} y B ={1, 2,3} , obtener el producto cartesiano AxB y BxA y dibujar su gráfica.

2)
Sea T ={1, 2,3, 4,5} y S ={1, 2} , obtener el producto cartesiano TxS y SxT y graficarlos.
3)
Con A = [−1,2) y B = (− 3,2)
subconjuntos de , obtener el producto cartesiano AxB y

BxA y graficarlos.


4)
Si K = { x ∈ /− 3 ≤ x <1} y J = { y ∈
/1.5 < y < 5.5} , obtener el producto cartesiano KxJy

JxK .


5)
Con y A = [2,4] , obtener
xA y
Ax .


1.2. RELACIONES

Variable es costumbre representarla mediante alguna de las últimas letras del alfabeto, con la característica de que puede sustituirse en su lugar cualquier número real.

Constante es un valor real que permanece fijo en cualquier problema de aplicación matemática.

Definición:

Una relación en los reales es una regla de...