Relaciones y sus Propiedades 2












Índice


Relación y Sus Propiedades
Definición de Relación……………………………………………………………3

Propiedades de las Relaciones
Propiedad Reflexiva……………………………………………………………....3
Propiedad Simétrica…………………………………………………………….4
Propiedad Antisimétrica………………………………………………………..5
Propiedad Transitiva……………………………………………………………5

Tipos de Relaciones
Relación de Equivalencia………………………………………………………...6Relación de Orden………………………………………………………………..6























Relación

Una relación es la correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas ordenadas. Cuando se formula una expresión que liga dos o mas objetos entre si, se conoce como una relación.

El concepto de relación implica la idea de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas ordenadas.Se llama relación entre los conjuntos A y B a un subconjunto del producto cartesiano A x B. Este puede estar formado por un solo par ordenado, varios o todos los que forman parte de A x B. Si establecemos una relación entre los elementos de un mismo conjunto, existen tres propiedades fundamentales que pueden cumplirse en esa relación: propiedad reflexiva, simétrica y transitiva. (Unarelación entre 2 conjuntos, es un conjunto de pares ordenados formados por un elemento del primer conjunto, llamado salida y un elemento del segundo conjunto, llamado llegada.)

Conjunto:
Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestra mente.

Producto Cartesino:
El producto cartesiano es un producto directo de conjuntos. En particular, elproducto cartesiano de dos conjuntos X y Y, denotado por X × Y, es el conjunto de todos los pares ordenados en los que el primer componente pertenece a X y el segundo a Y


Propiedades de las Relaciones

Propiedad Reflexiva

Sea R una relación binaria R en A, (A ¹ Æ).

Diremos que R es reflexiva si "aÎA, a R a

Ejemplo:

1. En N la relación R definida por:
“x R y Û x divide a y”
Esreflexiva ya que "xÎN, x R x porque x divide a x.
2. En N la relación R definida por:
“a R b Û a es el doble de b”.
No es reflexiva ya que (1, 1) ÏR puesto que 1 no es el doble de 1





Representación Cartesiana
Si la relación R es reflexiva entonces la diagonal pertenece a la relación.



Representación Sagital:
Si la relación R es reflexiva entonces todo elemento tiene una flechaque comienza y termina en sí mismo (un bucle).



Propiedad Simétrica

Diremos que R es simétrica si " a, b ÎA: a R b Þ b R a

Ejemplo:

En Z la relación R definida por:
“a R b Û a – b es múltiplo de 2”.
Es simétrica ya que si a R b Þ hay pÎZ tal que a – b = 2p
Þ b – a = 2(-p) con -p Î Z Þ b R a
En N la relación R definidapor:
“x R y Û x divide a y”
No es simétrica ya que 2 R 4 porque 2 divide a 4 pero 4 no divide a 2 por lo tanto (4,2) ÏR

Representación Cartesiana
Si la relación R es simétrica sobre A entonces los pares relacionados se reflejan respecto a la diagonal principal.


Representación Sagital
Si la relación R es simétrica entonces todo par de elementos que tiene una flecha la tiene enlas dos direcciones



Propiedad Antisimétrica

Diremos que R es antisimétrica si " a, b ÎA: [a R b Ù b R a] Þ a = b; otra manera de expresarlo: Si a¹b Þ [ (a,b) Ï R Ú (b,a) Ï R ]
Ejemplo:

En N la relación R definida por:
“x R y Û x divide a y”
Es antisimétricaa ya que si a R b y b R a entonces existen n, m ÎN tales que:
b = an y a = bm. Combinándolas, a = bm = (a.n).m Þ n.m= 1 Þ
n = m = 1 Þ a = b.
En Z la relación R definida por:
“a R b Û a – b es múltiplo de 2”.
No es antisimétrica ya que 2R4 y 4R2, pero 2¹4

Representación Cartesiana
Si la relación R es antisimétrica pueden existir pares por encima o por debajo de la diagonal pero ningún par tiene reflejo respecto a la diagonal principal excepto la diagonal misma.


Representación...