Relaciones y sus Propiedades

RELACIONES Y SUS PROPIEDADES


Par Ordenado:
Es el conjunto de dos elementos en el cual se le asigna un orden.

Producto Cartesiano:
Dados dos conjuntos A y B, llamaremos producto cartesianoAxB ={(x,y)/x ∈ A ∧ y ∈ B}
A Producto cartesiano de B, el conjunto de pares ordenados en los que la primera componente de cada par pertenece al conjunto A y la Segunda a B.
Ejemplo:

A={1,2} &B={1,2,3}
A x B={(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)}

Cuando el número de elementos de los conjuntos es finito el número de pares ordenados del producto cartesiano será igual al producto delnúmero de elementos del primer conjunto por los del segundo. En el ejemplo anterior 2x3=6

RELACION:
Es la interdependencia que existe de unos valores con respecto a otro.
Es un subconjunto de unproducto cartesiano.
En los pares ordenados de una relación, las primeras componentes se les llama Dominio y a las segundas Contradominio.

Relación de A en B:
Dados dos conjuntos A y B,llamaremos relación de A en B a cualquier subconjunto de AxB.

Llamaremos relación binaria en A, a cualquier subconjunto de AxA.

PROPIEDADES DE LAS RELACIONES

Simétrica:
Si un elemento estárelacionado con otro y este otro está relacionado con el primero, se dice que es simétrica. Relacion simétrica [(a,b) ∈ Rel (b,a) ∈ Rel]

Ejemplo:

A={1,2,3}
AxA={ (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2),(2,3), (3,1), (3,2), (3,3) }

R1 = {(1,2), (2,1)}
R2 = {(1,2), (2,1), (1,3), (3,1)}
R3 = {(1,2), (2,1), (1,3)}

Las dos primeras Relaciones (R1 y R2) son SIMETRICAS y R3 no ya que la propiedaddice, que si está el par debe de estar el par conmutado o inverso.
Si una relación es simétrica, su dominio y su imagen coinciden. Ser iguales, ser hermanos, la semejanza entre triángulos, serparecidos, la perpendicularidad, el paralelismo, etc., son relaciones SIMETRICAS.
Propiedad transitiva:

Si el primer elemento esta en relación con el segundo y este con el tercero, entonces el primero...