Relaciones

Función inyectiva
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Ejemplo de función inyectiva.
En matemáticas, una función es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto (imagen) de . Es decir, a cada elemento del conjunto X le corresponde un solo valor de Y tal que, en el conjunto X no puede haber dos o más elementosque tengan la misma imagen.
Así, por ejemplo, la función de números reales , dada por no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f(2) y f( − 2). Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función entonces sí se obtiene una función inyectiva.
Contenido[ocultar] * 1 Definición formal * 2 Cardinalidad e inyectividad * 3 Ejemplos * 4Véase también |
[editar] Definición formal
De manera más precisa, una función es inyectiva cuando se cumple alguna de las dos afirmaciones equivalentes:
* Si x1,x2 son elementos de tales que f(x1) = f(x2), necesariamente se cumple x1 = x2.
* Si x1,x2 son elementos diferentes de , necesariamente se cumple
Los siguientes diagramas corresponden a función inyectiva:
| |
[editar]Cardinalidad e inyectividad
Dados dos conjuntos y , entre los cuales existe una función inyectiva tienen cardinales que cumplen:

Si además existe otra aplicación inyectiva , entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre A y B.
[editar] Ejemplos
* Para cualquier conjunto X y subconjunto S de X el mapa de la inclusión S → X (el cual envía cualquier elemento s de S para simismo) es inyectiva. En particular, la función identidad X → X es siempre inyectiva (y de hecho biyectiva).
* La función f : R → R definida por f(x) = 2x + 1 es inyectiva.
* La función g : R → R definida por g(x) = x2 no es inyectiva, porque (por ejemplo) g(1) = 1 = g(−1). No obstante, si g se redefine de manera que su dominio es los números reales no negativos [0,+∞), entonces g es inyectiva.* La función exponencial exp : R → R definida por exp(x) = ex es inyectiva (pero no sobreyectiva, porque no genera numeros negativos, los cuales no tienen relacion con ningun valor de x).
* El logaritmo natural En la función ln : (0, ∞) → R definida por x ↦ ln x es inyectiva.
* La función g : R → R definida por g(x) = xn − x no es inyectiva, ya que, por ejemplo, g(0) = g(1).
Funciónbiyectiva
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Ejemplo de función biyectiva.
En matemática, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva.
Formalmente,

Para ser más claro se dice que una función es biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, quees la regla de la función inyectiva. Además, a cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada, en este caso (y); esta es la norma que exige la función sobreyectiva.
Contenido[ocultar] * 1 Teorema * 1.1 Ejemplo * 2 Véase también * 3 Referencias * 4 Enlaces externos |
[editar] Teorema
Si es una función biyectiva, entonces su función inversaexiste y también es biyectiva.
[editar] Ejemplo
La función:

es biyectiva.
Luego, su inversa:

también lo es.[1]
El siguiente diagrama se pude ver cuando la función es biyectiva:
Funciones | Inyectiva | No inyectiva |
Sobreyectiva | |
Biyectiva |
| |
No sobreyectiva | | |
*
En términos más generales, cuando X y Y están ambos en la recta real R, a continuación, unafunción inyectiva f : R → R es aquella cuya gráfica nunca es cruzada por una línea horizontal más de una vez. Este principio se conoce como la prueba de línea horizontal
Función sobreyectiva
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Ejemplo de función sobreyectiva.
En matemática, una función es sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva, suryectiva o exhaustiva), si está...