Relaciones

Profesorado de Informática - Ciencias de la Computación - INET – DFPD Matemática Discreta usando el computador 2010 (Matemática I) – Práctico 3

Notas: • Leer el capítulo Nº 7: Relaciones del libro "Matemática Discreta y sus aplicaciones" Kenneth H. Rosen 5 edición, Mc Graw Hill, en español. • Leer capítulo Nº 5: Relaciones y Funciones del libro:"Matemática Discreta y Combinatoria" Ralph. P.Grimaldi Editorial Pearson Prentice Hall 3a edición.

Practico Nº 3 – Relaciones

1. Dados A ={2,3, 4} y B={4,5}, determinar: AxB, BxA, BxB, BxBxB 2. Del conjunto AxA se conocen los elementos (c,d) y (a,b). Además se sabe que |AxA|=16. Hallar AxA. 3. Un alumno dice haber hallado el siguiente producto cartesiano: AxB={(a,1),(a,2),(b,1),(c,1),(c,2)}, ¿tiene razón?. Fundamenta tu respuesta. 4.Halla todos los subconjuntos de AxB (es decir, su conjunto de partes P(AxB)), siendo A={0,1} y B={2}. 5. Dados A ={2,3,4} y B={4,5}, indicar si los siguientes conjuntos son relaciones o no de A en B: {}, {(2,4)}, {(2,4),(2,5)}, {(2,4), (3,4), (4,4)}, {(2,4),(3,4),(4,5)}, AxB 6. Dados A={1,2,3,4}, B={2,5), C={3,4,7}. Determinar: AxB, BxA, A ∪ (B×C), (A ∪B)×C, (A×C)∪(B×C). 7. Dados A={1,2,3} yB={2,4,5}, de ejemplos de tres relaciones no vacías de A en B, y de tres relaciones no vacías binarias en A. 8. Sea ℜ ⊂ N×N donde (m,n) ∈ ℜ si y sólo si n=5m+2 a) Señalar una definición recursiva para ℜ. b) Utilizar la parte anterior para mostrar que (4,22)∈ℜ 9. Dado A={1,2,3), señalar si las relaciones dadas a continuación cumplen o no con las propiedad reflexiva y/o simétrica: ℜ1={(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)}, ℜ2 ={(1,1),(2,2),(3,3),(2,3)}, ℜ3={(1,1),(2,2),(3,3)}, ℜ4 ={(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)}, ℜ5 ={(1,1),(2,3),(3,3)} 10. Dado A={1,2,3,4}, dar un ejemplo de una relación ℜ sobre A, que sea: a) reflexiva y simétrica, pero no transitiva. b) reflexiva y transitiva, pero no simétrica. c) Simétrica y transitiva, pero no reflexiva. 11. Para cada una de las siguientes relaciones, determine si esreflexiva, simétrica, antisimétrica o transitiva. a) ℜ ⊆ Ζ∗×Ζ∗ , donde aℜb, si a es divisor de b. b) Para un universo U y un subconjunto fijo C de U, se define ℜ sobre P(U) como sigue: Para cualquier A,B ⊆ U, AℜB si A∩C=B∩C. c) En el conjunto A de todas las rectas del plano α, se define ℜ para dos rectas r y s de α como rℜs si r es perpendicular a s. Obs: Estudiar el caso propuesto en la parte c) peroen el espacio. d) ℜ es la relación sobre Z tal que xℜy si x+y es un número par (impar). e) ℜ es la relación sobre Z tal que xℜy si x- y es un número par (impar). f) ℜ es la relación sobre Z* tal que xℜy si x e y son primos entre sí. g) Sea T el conjunto de todos los triángulos del plano α. ℜ es la relación sobre T tal que xℜy, si x e y tienen un ángulo de igual medida. h) ℜ es la relación de ZxZtal que (x,y)ℜ(z,w) si x ≤ z. Profesores: Saúl Tenenbaum y Germán Ferrari http://www.x.edu.uy/ - http://matematicagerman.blogspot.com/ Página 1 de 1

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12. Indicar de la relaciones del ejercicio anterior, ¿Cuáles son relaciones de orden parcial y cualesson de equivalencia? 13. Sea A={1;2;3;4}, y sea R={(1;1),(1;2),(2;1),(2;2),(3;4),(4;3),(3;3),(4;4)}, determinar las clases de equivalencia. 14. Sean A = {1, 2, 4, 6,8} y R definida en A tal que xRy ⇔ x + y = 3 . a) Determinar R por extensión. b) Representarla por medio de un diagrama. c) Investigar que propiedades cumple. 15. Dado P = {a, b, c, d } , en el se define la relación R tal que:
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R= {( a, a ) , ( b, b ) , ( c, c ) , ( d , d ) , ( b, c ) , ( c, b )}

a) Investigar si R es de equivalencia. b) En caso afirmativo, hallar las clases de equivalencia de los elementos de P. 16. Indicar si cada uno de los conjuntos de subconjuntos es una partición. Justificar. a) A={1;2;3;4;5;6;7;8}, A1 ={4;5;6}, A2 ={1;8}, A3 ={2;3;7} b) A={a,b,c,d,e,f,g,h}, A1 ={d,e}, A2 ={a,c,d}, A3 ={f,h},...