RELACIONES

Unidad 5. Relaciones.

1. Relación
Una relación es un subconjunto de un producto cartesiano.

Ejemplo:

A•B
A = {a, b} B= {1, 2, 3}

R = {(a, 1); (a, 3); (b, 2); (b, 3)}

2. ¿En queconsiste el producto cartesiano?
Es la relación entre los elementos de un conjunto con los otros elementos de otro conjunto. Como los polinomios.

Ejemplo:

A = {a, b}, B= {1, 2, 3}

A•B= {(a, 1);(a, 3); (b, 2); (b,3)}

3. Relación binaria
Es una correspondencia entre los elementos de un mismo conjunto

4. ¿De que forma se pueden representar las relaciones?
• Matrices

• Conjuntos

•Grafos

• Diagramas


5. Propiedades de las relaciones
• Reflexiva
Son todos los elementos relacionados con si mismo o iguales.
Ejemplo:
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3),(2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}
Se dice que es reflexiva porque x ∈ X, (x, x) ∈ R
(1, 1), (2, 2), (3, 3) y (4, 4) están en R

• Simétrica
Es simétrica cuando una relación cumple con la siguientedefinición:
Si para cada x, y ∈ X, si (x, y) ∈ R, entonces (y, x) ∈ R
Ejemplo:
Deben ser los mismos valores a la inversa.
(3, 4) y (4, 3)

• Transitiva
Es transitiva si se cumple la siguientedefinición:
x, y, z ∈ X, si (x, y) y (y, z) ∈ R, entonces (x, z) ∈ R
Los dos productos deben dar a un tercer producto y el segundo elemento de los productos no debe estar en el tercer producto.Ejemplo:
(1, 2), (2, 3) se tiene (1, 3)
(1, 3), (3, 4) se tiene (1, 4) Todos pertenecen a R
(2, 3), (3, 4) se tiene (2, 4)

• Antisimétrica
Es igual a la propiedad simetría pero la simetría de loselementos no pertenecerá a la Relación.
Debe cumplir con la siguiente definición:
x, y X, si (x, y) ∈ R y x ≠ y, entonces (x, y) ∉ R
Ejemplo:
(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)pertenecen a R, pero (2, 1), (3, 1), (4, 1), (3, 2), (4, 2), (4, 3) no pertenecen a R.

6. Relación de equivalencia
Una relación binaria puede ser una equivalencia si cumple con estas tres propiedades:...