RELACIONES

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Universidad Simón Bolívar
Depto. de Matemáticas
Puras y Aplicadas

MA2221 RELACIONES
Sept.-dic. 2006
[opcional ], [ Claudio Margaglio]

RELACIONES
Def.1 Dados dos conjuntos no vacíos, A, B , una relación R de
A en B se define por medio de ("es") un subconjunto SR del producto
cartesiano AxB .Se dice entonces que " el elemento a∈A
está relacionado con el elemento b∈B ( y se escribe aRb) si ysólo si el
par ordenado (a,b) pertenece al subconjunto SR mediante el cual se
definió la relación R; en el caso contrario (si (a,b)∉SR ), se dice que " a
no está relacionado con b " .
Ejemplo 1.
Sean A= {1, 2, 4, 6, 9 } , B= { 1, 2, 3, 4 } ,
SR = { (1, 2) , (1, 3) , (1, 4) , (2, 3) , (2, 4) } entonces Ud. puede
verificar que un elemento x∈A está relacionado con y∈B , si y sólo si
x Ejemplo 2. SeaT la relación de A en B (que son los mismos del
ejemplo anterior) determinada por :
"xTy si y sólo si x es múltiplo de y " ;

Ud. puede verificar facilmente que en este ejemplo, el subconjunto de
AxB que define la relación T es el siguiente :
ST = { (1, 1) , (2, 1), (2, 2) , (4, 1), (4, 2), (4, 4), (6, 1), (6, 2), (6, 3) ,
(9, 1) , (9, 3) } .
Def.2. Dada una relación R de A en B, el conjunto SR sellama a veces
la gráfica de la relación y puede ser util, a veces, para dar una idea
intuitiva acerca de la relación dada.
Ejemplo 3. Sean A=B=R= conjunto de los números reales y sea:
xTy si y sólo si x2 +y2 =1 ,

entonces ST = {(x, y)∈R2x 2+y2 =1} y el conjunto ST dibujado en un
sistema de coordenadas cartesianas en el plano, es la circunferencia de
centro el origen y radio 1.

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MA2221 RELACIONES
Sept.-dic. 2006
[opcional ], [ Claudio Margaglio]

def.3. Una función , f, de A en B [ como de costumbre, se indicará con
un símbolo del tipo f : A→B ] es una relación de A en B con la
propiedad que para todo x∈A hay uno y un solo par ordenado en Sf ,
con primer elemento x .
A título de ejemplo, ninguna de las tres relacionesde los tres ejemplos
anteriores, es una función.
Observación.
Generalmente, cuando en un curso de matemáticas se define el
concepto de función f: A→B , se dice que es " una ley de
correspondencia, que a todo elemento x del conjunto A asocia uno y
un solo elemento f(x) del conjunto B ". Esta definición es equivalente
(aunque más intuitiva) a la def. 3 dada acá.
En forma análoga, podríamos definiruna relación T, de A en B como
"una ley de correspondencia que a algunos elementos de A (podrían
ser uno, ninguno o más que uno) asocia algunos elementos de B " . Por
ejemplo, con referencia a la relación T del ejemplo 3, tendríamos : la
relación T no asocia ningun elemento a los números reales menores
que -1 o mayores que 1 , asocia un número real (a saber, el cero) al
número -1 y al número 1 ,asocia dos números reales, dados por la
fórmula ± 1-x2 a todo número real del intervalo (-1, 1) . Usando
fórmulas, en manera análoga a lo que se hace cuando se trabaja con
funciones, podríamos

escribir :

 T(x)= ∅, si x∉(-1,1)
 T(x)=0 si x=-1 o x=1
 T(x)= ± 1-x2 , si x∈(-1,1)

.

Dada una relación T, de A en B , el conjunto T(x)={ y∈B xTy} , es decir,
el conjunto de todos los elementos de Bque resultan asociados al
elemento x∈A, se llama la imagen de x ; más en general, podemos dar
la siguiente :
Def.4. Dada una relación T, de A en B y un subconjunto H de A, se
llama la imagen de H (por acción de T) y se indica con T(H), el
siguiente subconjunto de B : T(H)={ y∈B xTy, para algún x∈H} .

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Def 4'. En forma parecida se define la preimagen T-1(K) de cualquier
subconjunto K de B: T-1(K)={ x∈AxTy, para algún y∈K}.
Def.4". Dada una relación T de A en B, se llama dominio de la
relación, el siguiente subconjunto de A :
{x∈A existe almenos un elemento y∈B , tal que (x, y)∈ST }
Ejemplo 3'. Consideremos la relación T de A en B definida en la...

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