RELACIONESNUEVA

RELACIONES


Antes de entrar al tema de Relaciones se enunciaran algunos conceptos importantes.

DEFINICION : Un conjunto es una colección de objetos bien definidos y diferenciables entre si que se llaman elementos.

TAMAÑO O CARDINALIDAD
El tamaño de un conjunto A es su nº de elementos y se denota entre barras : | A |

TEOREMA: Sea A un conjunto finito. La cantidad de subconjuntos de A es 2|A |.

DEFINICIÓN: Sea A un conjunto. El conjunto potencia de A es el conjunto de los subconjuntos de A.

DEFINICIÓN: Un conjunto A es subconjunto de otro conjunto B, si todo elemento de A es también un elemento de B.
Si además existe algun elemento de B no pertenencientes a A, se dice que A es subconjunto propio de B.

Ojo ! : AB no excluye la posibilidad de que AB, esta, es unainformación que ignoramos.

Representación
A subconjunto de B : AB, o BA
A subconj. propio de B : AB, o BA (notese como desaparece la línea de igual al excluirse tal posibilidad)

Se considera que todo conjunto no vacío tiene como subconjunto al nulo y a si mismo.


Algunos conjuntos:

Nulo ‘’ o ‘{}‘ : Es aquel que carece de elementos.
Ojo ! : ||=0 pero {} porque esteconjunto ( {} ), tiene un elemento: el nulo.

Universal ‘U’ : Es la colección de todos los elementos implicados en el problema a considerar.

Iguales ‘A=B’ : Aquellos conjuntos que contienen los mismos elementos sin importar orden o repetición.


DEFINICIÓN: Sean los conjuntos A y B. El producto cartesiano de A y B, que se representa por A x B, es el conjunto de todos los pares ordenados (listasde dos elementos ) formados tomando un elemeno de A y uno de B, en todas las formas posibles, esto es:

A x B = { (a,b)  a  A y b  B }.

Definición: Sean A y B dos conjuntos finitos. Entonces:

A x B  = A x B.


Una relación puede considerarse como un cuadro que muestra las correspondencias de unos elementos con respecto a otros.


DEFINICIÓN: Una relación binaria R de un conjuntoX a un conjunto Y es un subconjunto del producto cartesiano X x Y. Si (x,y)  R se escribe xRy y se dice que x está relacionado con y. En el caso que X=Y se afirma que R es una relación (binaria) sobre X.


DEFINICIÓN: El conjunto
{x  X  (x,y)  R para algún y  Y }
se llama el dominio de R.


DEFINICIÓN: El conjunto
{y  Y  (x,y)  R para algún x  X }
se llama el Contradominio( o ambito ) de R.


Si una relación se presenta mediante una tabla, el dominio está formado por los elementos de la primera columna, y el contradominio por los miembros de la segunda.


El siguiente ejemplo señala que a veces es posible definir una relación mediante una ley de pertenencia a la misma.

EJEMPLO :

Sean X ={2,3,4} y Y={3,4,5,6,7}
Si se define una relación de X a Y por:(x,y)  R si x divide a y (con residuo cero)

Entonces
R={ (2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4) }

Si se expresa R como una tabla resulta

X
Y
2
4
2
6
3
3
3
6
4
4

El dominio de R es el conjunto {2,3,4} y el contradominio de R es el conjunto {3,4,6}.


EJEMPLO:

Sea R la relación en X={1,2,3,4} definida por (x,y)  R si x  y, en dondex,y  X. Entonces:
R={ (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4) }


El dominio y el contradominio de R son, ambos, iguales a X.


Una manera útil de representar una relación sobre un conjunto es trazar su dígrafo.

Para establecer el digrafo de una relación en un conjunto X, se marcan primero puntos o vértices que representan los elementos de X. En la figurasiguiente se han ubicado 4 vértices que señalan los elementos del conjunto X del ejemplo. A continuación, si el elemento (x,y) está en la relación, se traza una flecha ( llamada arco dirigido ) desde x hasta y . Notese que un elemento de la forma (x,x) en una relación corresponde a un arco dirigido de x a x . Tal arco se denomina lazo.













PROPIEDADES DE LAS RELACIONES


DEFINICIÓN: Una...