relación aurea

Al elevar al cuadrado ambos términos se obtiene,

VIII feria
Madrid es Ciencia
12-15 de abril de 2007

Observe que el segundo miembro de la igualdad debe ser el número X, pues
no vemos ninguna diferencia entre este segundo miembro y la definición de X.
Por lo que se puede escribir,

IES Barrio de Bilbao
Juguemos a la Geometría
Temas de geometría

Que de nuevo es la ecuación de laque se obtuvo Φ.
Un proceso similar justifica la otra expresión recursiva. Sea X el valor de la
expresión recursiva infinita,

La Divina Proporción: el Número Áureo

1

1+

EL NÚMERO AUREO

1+

Casi todo el mundo conoce el número irracional π, la relación entre la longitud
y el diámetro de una circunferencia. Existe otro número irracional no tan
conocido al que llamamos Φ, el númeroáureo, que aparece frecuentemente
en la naturaleza y en las construcciones humanas.

1
(1 +
2
1
(1 −
=
2

Φ =

x = 1+

Φ

1

5 )

1
1 + ...

Entonces, de nuevo dado el carácter recursivo infinito del denominador de la
primera fracción se puede ver de nuevo ahí la definición del número X, luego,

Una forma de encontrar Φ, es considerar las raíces de la ecuación,

Seconsidera que Φ es la primera raíz. Se puede
obtener Φ también con las siguientes expresiones
recursivas infinitas:

1

x = 1+

(Basado en un texto y figuras de Mark Freitag)

1
x

Por lo que se puede escribir,

5 )
De nuevo la ecuación de la que se obtuvo Φ.

FIGURAS CON DIMENSIONES EN PROPORCIÓN AUREA
Una forma geométrica asociada al número áureo,
es el rectángulo áureo. Esterectángulo tiene
lados A y B, cuya relación coincide con el número
áureo. Se dice que este rectángulo es el más
agradable a la vista, de hecho se dice que
cualquier figura geométrica que siga la proporción
áurea es agradable a la vista.

Utilizando estas expresiones podemos calcular el valor de Φ con una
aproximación que dependerá de la cantidad de términos utilizados. A mayor
número detérminos mayor aproximación. Se puede mostrar que estas
expresiones recursivas se aproximan tanto como deseemos al valor exacto de
Φ. Si asumimos que X es el valor de la expresión recursiva infinita,

Se puede utilizar la proporción áurea para dibujar
un pentágono regular, pues ya en la escuela pitagórica, descubrieron que el
lado y la diagonal de este polígono están en proporción áurea. De hechoutilizaron la siguiente figura recursiva como emblema de la escuela, su
petagrama.

D

A'

E

C

E'
D'

Se puede hacer lo mismo con el rectángulo áureo, generando un conjunto de
rectángulos arremolinados, que sirvan de base para una espiral logarítmica,
como se vem en la figura:

B'

C'

B
A

Si se unen los vértices del
pentágono, se obtienen dos
triángulos áureos. Eltriángulo azul
tiene los lados y la base en
relación áurea, y el rojo tiene la
base en relación áurea respecto a
cada uno de los lados.
Si se inscribe un decágono regular en un
círculo, la relación de uno de los lados al radio
coincide con la sección áurea.
Si se toma un triángulo isósceles cuyos lados
estén en relación áurea, los ángulos de la
base serán de 72 grados. Si se biseca unode
estos ángulos se obtiene otro triángulo
semejante. Si se continúa el proceso se
obtiene
un
conjunto
de
triángulos
arremolinados. Utilizando como base los
triángulos arremolinados, se puede dibujar
una espiral logarítmica, con convergencia en
la intersección de las líneas azules.

Es interesante observar la sucesión de
rectángulos que se obtienen a partir de un
cuadrado de lado 1y uno de lado 2, al
ponerlos juntos como indica la figura. Si se
continúa dibujando cuadrados, tal y como
indica la figura, se obtiene de nuevo el
conjunto de rectángulos arremolinados.
La colección de rectángulos tienen la siguiente propiedad: La relación de los
lados, se va acercando tanto como se desee a la sección áurea, (2/1 = 2, 3/2
= 1.5, 5/3 = 1.6666, 8/5 = 1.6, 13/8 = 1.625, y...