Relación Bloque I 1

Grados de ADE, Finanzas y Contabilidad, Marketing y Economía
Curso 2015/2016
Ejercicios Bloque 1: Cálculo diferencial e integral en una variable.

1. Calcular las derivadas de las siguientes funciones usando la denición.
a) f (x) = 3x + 1, b) f (x) = 3x2 + 1, c) f (x) =

√
3x + 1.

2. Calcular la recta tangente a la siguientes curvas en los puntos que se indican
entre corchetes, utilizando laderivada.
a) f (x) = 3x , [x = 1], b) f (x) = x2 ln x, [x = e], c) f (x) = 2ex−1 , [x = 1].
de las siguientes funciones.
3. Estudiar la derivabilidad


2


 1 − x , (x < 0)
a) f (x) =
1,
(x = 0)



 x2 + 1, (x > 0)

b) f (x) = |x| − x + 2, x ∈ R c) f (x) = |x3 |, x ∈ R

4. Derivar las funciones siguientes y simplicar el resultado.
(1 − 5x2 )
2
2
a) f (x) = ex +3x−1 , b) f (x) = xe−x ,
c) f(x) = √
,
3
3 + 2x
√ cos x
x
2
d) f (x) =
,
e) f (x) = ( x)
, f ) f (x) = ex 5x
ln x

5. Los costes de producción de una fábrica (C , en miles de e) se relacionan
con las unidades producidas (x, en miles) mediante una función de costes que
viene dada por:

√
C(x) = 25 + 3 2x.

= ) Hallar los costes de producir 2 y 18 miles de unidades.
> ) Hallar la tasa media de variación del coste en losintervalos [0, 2], [2, 18] y

[0, 18]. Interprete económicamente los resultados.
? ) Hallar las tasas instantáneas de variación del coste para x = 2, x = 18 y

x = 50 miles de unidades.

6. Calcular los límites siguientes:
(a)
(c)

x cos x − sen x
, (b)
x→0
x3
l´ım

l´ım+ (sin x)sin x ,

x→0

(d)

ex − e−x − 2x
,
x→0
x − sen x
l´ım

1

l´ım+ x2 e x

x→0

7. Hallar extremos relativos y absolutos eintervalos de monotonía de las funciones que siguen.
a) f (x) = x3 − x2 − 8x + 1, en [−3, 3];

b) g(x) = x2 ln x, en [1, e];

c) h(x) = 2sen(x) , en [0, π].
8. Una empresa produce x Kg de un producto. El coste de producción viene
dado por la función C(x) = x3 − 341x2 + 29400x y el precio del producto es
de 10000 euros/Kg. La empresa tiene una capacidad de producción máxima
de 200 Kg. ¾Qué cantidadhabrá de fabricar para optimizar el benecio?
9. La curva de demanda de un producto es p = 600 − 2q y el coste de producción
viene dado por c = 0′ 2q 2 + 28q + 200, donde p es el precio por unidad y q la
cantidad de unidades demandadas.
= ) Calcular el nivel de producción y el precio que aumentarán al máximo los

benecios y calcular cuales serán dichos benecios.
> ) Si el gobierno impone un impuestode 22 euros por unidad fabricada ¾cuá-

les serán ahora la producción y el precio con los que se obtiene el mayor
benecio y cuál es dicho benecio?
10. Supongamos que la función demanda de un cierto artículo es p =

240 − q
,
2

0 ≤ q ≤ 240, donde q es el número de unidades vendidas y p el precio.
= ) Calcular la elasticidad de la demanda.

> ) Calcular la elasticidad de la demanda cuando elprecio es p = 100 y

explicar la respuesta.
? ) ¾Para qué precio la elasticidad de la demanda es igual a −1? ¾Qué signi-

cado tiene dicho precio?
11. Una empresa ha descubierto que la función de demanda del producto que
50
q

fabrica viene dada por p = √ , siendo p el precio por unidad y q las unidades
vendidas.

= ) Si el coste de producción de q unidades es de C(q) = 0′ 5q + 500, calcular

elprecio por unidad que proporciona el máximo benecio.
> ) Calcular la elasticidad de la demanda en función del precio y comprobar

que el ingreso marginal es siempre positivo.

−q

12. La curva de demanda de un producto es p = 100e 100 , donde p es el precio por
unidad y q la cantidad de unidades demandadas.
= ) Si el nivel de demanda es de 100 unidades, utilizar la elasticidad para

estimar en quéporcentaje variará la demanda si el precio baja el 1 %.
> ) ¾Para qué nivel de demanda una pequeña subida del precio provoca el

mismo porcentaje de bajada de la demanda?
13. Hallar las siguientes integrales usando el cambio de variable adecuado:
(a)

∫

2x − 1
dx, (b)
2
x −x+8

∫

ln(x + 2)
dx, (c)
2x + 4

14. Calcular las siguientes integrales:
(a)

∫

ln(x)
dx, (b)
x

∫

e sen x dx, (c)

∫...