Relación entre los coeficientes de Darcy y de Coriolis para tuberías rugosas en régimen turbulento totalmente desarrollado

Estudio de la relación entre α y f en régimen turbulento
totalmente desarrollado para tubería rugosa

Resumen
El objetivo principal del trabajo ha sido hallar y definir matemáticamente una relación entre el
coeficiente α de Coriolis y la f de Darcy en tuberías rugosas.
Inicialmente se estudió esta relación en régimen turbulento totalmente desarollado, aunque
posteriormente se amplió elespectro de régimenes admitidos.
El resultado obtenido fue que α – 1 = 2.6 ~ 2.7

Desarrollo
El coeficiente α depende directamente del perfil logarítmico de velocidades. Partiendo de la teoría
de la longitud de mezcla de Prandtl se llega a:
v/v0 = A ln(y/y0) + B

Al ser v0 e y0 los valores de partida sobre los que se desarrolla la relación logaritmica, éstos están
directamente asociados alas condiciones hidráulicas y geométricas del contorno de la tubería. En
una primera aproximación a la ley de velocidades se adoptó v0 = v* e y0 = k, siendo éstas la
velocidad de fricción y la rugosidad absoluta respectivemente. Ambas hipótesis son apropiadas para
estudiar el movimiento turbulento rugoso totalmente desarollado, ya que de esta forma la f de Darcy
sólo depende de la relación k/D,tal y como se espera del movimiento turbulento rugoso totalmente
desarollado. Bajo este supuesto, las constantes A y B resultan ser 2.5 y 8.48, respectivamente el
inverso de la constante de Von Karman y el valor experimental hallado por Nikurdase. Resulta
entonces:
v/v* = 2.5 ln(y/k) + 8.48

Los datos de partida requeridos para, en cada caso, derivar todos los valores necesarios resultanser:
•

Pendiente de carga

I [-]

•

Diámetro de la tubería

D [m]

•

Rugosidad absoluta

k [m]

•

Viscosidad cinemática

ν = 10-6 m2/s

•

Aceleración gravitatoria

g = 9.81 m/s2

•

Densidad del fluido

ρ = 1000 kg/m3

(sólo para resultados intermedios)

De donde,
τ0 = ρgRhI [N/m2] ;

Rh = S/Pe = D/4 [m] ; v* = (τ0/ρ)1/2 [m/s]

La integración a partirde aquí resulta inmediata. Puede efectuarse de forma analítica o numérica.
Los datos presentados se han obtenido por integración analítica, cuyo desarrollo se encuentra
adjunto al final.
Adicionalmente se adjunta una comprobación de los resultados obtenida por integración numérica,
para la cual se han escogido 400 intervalos regulares de integración a lo largo de cada radio. Por
este método,la velocidad media resulta,
vm = 2πΣ(vr)∆r /S = 8 Σ(vr)∆r /D2 [m/s]

Y el coeficiente α,
α = 8 Σ(v3r)∆r / vm3D2

La f se obtiene de forma inmediata a partir de su definición,
I = f vm2 / D2g

Casos contemplados
Dado que la f de Darcy y el coeficiente α dependen, bajo la ley logarítmica adoptada, únicamente
de la rugosidad relativa k/D, los casos calculados se han discriminado bajo lossiguientes criterios:
•

Las rugosidades relativas escogidas han sido las empleadas por Moody en su conocido
ábaco, entendiendo que si el ábaco tuvo tanto éxtio es que a) su campo de aplicación es
amplio y b) el señor Moody no era tonto. Las que llegan a desarrollar régimen turbulento
rugoso totalmente desarrollado resultan ser:
1x10-5, 5x10-5,
1x10-4, 2x10-4, 4x10-4, 6x10-4, 8x10-4,1x10-3, 2x10-3, 4x10-3, 6x10-3, 8x10-3,
1x10-2, 1.5x10-2, 2x10-2, 3x10-2, 4x10-2, y 5x10-2.

•

Se ha escogido la serie de diámetros:
1.00, 0.90, 0.80, 0.70, 0.60, 0.50, 0.40, 0.30, 0.20, y 0.10 m.

•

La rugosidad absoluta viene entonces impuesta.

•

Pendientes de carga de:
0.5, 0.1, 0.05, 0.01, 0.005, 0.001, 0.0005, 0.0001, 0.00005, y 0.00001.

Para estas tres series de datosescogidos se han barajado todas las posibilidades, en total:
18x10x10 = 1800

Criba de resultados
Naturalmente, no todos los casos contemplados reproducen condiciones de movimiento turbulento
rugoso totalmente desarrollado. Hay dos enfoques para entender bajo qué criterio se criban los
resultados o, equivalentemente, qué criterio establece qué casos corresponden al régimen buscado.
Por una...