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Notas de

A´ lgebra Lineal II
M. Sc. Sebasti´n Casta˜eda Hern´ndez a n a Grupo Marea Departamento de Matem´ticas a Universidad del Norte

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´ Indice general
1. Espacios vectoriales y aplicaciones lineales 1.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.2. La Estructura de campo . . . . . . . . . . 1.3. Espacios vectoriales sobre un campo . . . . 1.3.1. La definici´n de espaciovectorial . o 1.3.2. Subespacios, bases . . . . . . . . . 1.4. Aplicaciones o Transformaciones lineales . 5 5 6 13 13 16 30 53 53 56 59 61 64 67 70 70

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2. Polinomios y matrices 2.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . o ´ 2.2. El Algebra de Polinomios en la indeterminada x. . . 2.3. Divisibilidad y polinomios irreducibles . . . . . . . 2.3.1. Funciones polin´micas y ceros de polinomios o 2.3.2. Polinomios irreducibles . . . . . . . . . . . . 2.4. Aplicaciones y matrices transpuestas . . . . . . . . 2.4.1. Subespacios anuladores . . . . . . . . . . . . 2.5. El rango de una aplicaci´n lineal . . . . . . . .. . o

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3. Valores y vectores propios 79 3.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 o 3.2. Valores propios de una aplicaci´n lineal . . . . . . . . . . . . . 82 o 3.3. Polinomios anuladores. Polinomio m´ ınimo . . . . . . . . . . . 91 4. Espacios conproducto interior 4.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.2. Productos interiores, normas y m´tricas . . . . e 4.3. Vectores ortogonales y bases ortonormales . . 4.4. Autovalores en espacios con producto interior 97 97 98 103 106

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´ INDICE GENERAL A. Enteros.

´ INDICEGENERAL 117 123 131

B. Relaciones de equivalencia y relaciones de orden C. Morfismos. Transporte de estructuras

D. Congruencias 137 D.0.1. La ecuaci´n lineal en Z n . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 o Z

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Cap´ ıtulo 1 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales
1.1. Introducci´n o

En este cap´ ıtulo se resumen algunos de los resultados b´sicos sobre esa pacios vectoriales sobreun campo cualquiera, estudiados en el curso previo ´ de Algebra lineal, y se desarrollan otros t´picos no cubiertos en dicho curso, o especialmente relativos a transformaciones lineales, que son necesarios para el presente curso.

Se presentan inicialmente los conceptos de operaci´n binaria y estructuo ra algebraica, enumerando los m´s importantes, especialmente la estructura a de campo, sobrela cual se construye la de espacio vectorial. Los resultados ya conocidos del curso anterior se listan simplemente como referencia o repaso para el estudiante. Se incluye tambi´n, en el ap´ndice B, una secci´n e e o dedicada a las relaciones de orden y de equivalencia y otra (ap´ndice C) a e la compatibilidad entre ´stas ultimas y operaciones binarias, compatibilidad e ´ que posibilita el“traslado” de estructuras o el “paso al cociente”. Un tema relativo a esto ultimo es el de las congruencias m´dulo un entero que se in´ o cluye en el ap´ndice D, el cual requiere de algunos resultados previos sobre e n´meros enteros (ap´ndice A). u e

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´ Algebra lineal II

1.2.

La Estructura de campo
∗ : A × B −→ C (a, b) −→ a ∗ b

Dados conjuntos no vac´ A y B, una operaci´n binaria esuna funci´n ıos o o

Si B = C = A, ∗ se denomina ley de composici´n interna en A, u operaci´n o o binaria sobre A. De manera general, una estructura algebraica est´ formada a por un conjunto no vac´ A, con una o m´s operaciones binarias que lo ıo, a involucran en su dominio, no necesariamente leyes de composici´n interna. o Se acostumbra a escribir (A, ∗, ◦, . . . ) para referirse a la...