Relatoria De Calculo

Método del trapecio
 
Para calcular la integral definida, aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo, es preciso obtener previamente una integral indefinida. Aunque se conocen diversos métodos para hallar la integral indefinida de una cantidad considerable de funciones, existen funciones para las cuales estos métodos no son aplicables. Este inconveniente se supera haciendo uso de laintegración numérica. La integración numérica permite evaluar la integral definida de una función continua en un intervalo cerrado con la exactitud deseada. Este un método de integración numérico que se obtiene al integrar la formula de interpolación.
 
Respuesta, (error).
 
Regla del trapecio

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Él área sombreada por debajo de la recta de interpolación la llamaremos g(x) es iguala la integral calculada mediante la regla del trapecio, mientras que el área por debajo de la curva f(x) es el valor exacto. Él error de la ecuación es igual al área entre g(x) y f(x).
 
Esta misma ecuación se puede extender a varios intervalos y se puede aplicar N veces al caso de N intervalos con una separación uniforme h.Así se propone la regla extendida del trapecio.
 

 
 Ejemplo:
Elcuerpo de revolución que se muestra, se obtiene al girar la curva dada por ,, entorno al eje x. Calcule el volumen utilizando la regla extendida del trapecio con . El valor exacto es I=11.7286, u2.
Evalué el error para cada N.
Donde:


 

REGLA DE SIMPSON

 Se define como la forma de obtener una estimación más exacta de una integral es con el uso de polinomios de orden superior paraconectar los puntos. Por ejemplo si hay un punto extra a la mitad del camino entre f(a) y f(b), los tres puntos se pueden conectar con una parábola. Si hay igualmente dos puntos espaciados entre f(a) y f(b), los cuatro puntos se pueden conectar con un polinomio de tercer orden. Las fórmulas que resultan al tomar las integrales bajo esos polinomios son conocidos como reglas de Simpson.
 
 
Reglade Simpson 1/3
La segunda fórmula de Newton-Cotes es para una cuadrática integrada en dos intervalos que son de anchura uniforme:
 
I ≈ h . [f(x0) + 4f(x1) + f(x2)]
3
 
donde para este caso h = (b-a)/2. Al sustituir h en nuestra ecuación anterior, la regla de Simpson 1/3 se expresa también como:
 
I ≈ (b-a) f(x0) + 4f(x1) + f(x2).
6
 
donde a = x0, b = x2 y x1 =punto a la mitad del camino entre a y b, que esta dado por (b+a)/2.
 
 
Regla de Simpson 3/8
En una manera similar a la regla se Simpson 1/3, un polinomio de tercer orden se puede ajustar a cuatro puntos e integrarse, la regla es:
 

 
donde h = (b-a)/3. Al sustituir h en nuestra ecuación anterior, la regla de Simpson 3/8 puede expresarse también de la siguiente forma:
 
I ≈ (b-a) f(x0) +3f(x1) + 3f(x2) + f(x3).
8
 

Ejemplo:

Use la regla de Simpson 1/3 y 3/8 para integrar la siguiente función:
 
f(x) = 0.2 +25x – 200x2 + 675x3 – 900x4 + 400x5
 
Desde a = 0 hasta b = 0.8. La integral exacta es 1.640533.
 
-         Por Simpson 1/3
 
x0 = 0
x2 = 0.8
x1 = (0 + 0.8)/2 = 0.4
 
f(x0) = f(0) = 0.2
f(x1) = f(0.4) = 2.456
f(x2) = f(0.8) = 0.232
 
Sustituimoslos valores en la ecuación:
 
I ≈ (b-a) f(x0) + 4f(x1) + f(x2).
6
I ≈ 0.8 0.2 + 4(2.456) + 0.232.
6
I ≈ 1.367467
 
-         Por Simpson 3/8
 
Cada separación va a tener:
x = (0 + 0.8)/3 = 0.2667
 
x0 = 0
x1 = (0 + 0.2667) = 0.2667
x2 = (0.2667 + 0.2667) = 0.5333
x3 = 0.8
f(x0) = f(0) = 0.2
f(x1) = f(0.2667) = 1.432724
f(x2) = f(0.5333) = 3.487177
f(x3) =f(0.8) = 0.232
Sustituimos los valores en la ecuación:
 I ≈ (b-a) f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3).
8
I ≈ 0.8 0.2 + 3(1.432724) + 3(3.487177) + 0.232.
8
I ≈ 1.519170
INTEGRALES DE FUNCIONES PAR E IMPAR
Recordemos que una función f( x ) es par en el intervalo [a, -a] si f( x ) = f( -x ). El ejemplo más práctico es f( x ) = x2 en el intervalo [-a, a], cualquiera sea el valor...