RENTA

ESTADÍSTICA II

Práctica nº 1 – Cálculo de Probabilidades
Finalidad de la práctica:
1. Calcular probabilidades de diferentes variables aleatorias discretas y continuas.
2. Simular valores de diferentes variables aleatorias discretas y continuas.
3. Proporcionar una explicación intuitiva de la función de densidad de una variable aleatoria
continua usando histogramas.
4. Ilustrar numérica ygráficamente las aproximaciones Binomial-Poisson y Binomial-Normal.

REPASO DE LA MATERIA TEÓRICA CORRESPONDIENTE
1.- Calcular probabilidades de diferentes variables aleatorias
La hoja de cálculo de Excel permite calcular las probabilidades de variables aleatorias. En la
categoría de funciones ESTADÍSTICAS hay un conjunto de funciones que calculan la
probabilidad o densidad y laprobabilidad acumulada de variables aleatorias.
2.- Simulación de Variables Aleatorias
El método más conocido y utilizado para generar valores artificiales de una variable aleatoria es
el método de la Función de Distribución Inversa. Éste se basa en su densidad o su distribución de
probabilidad apoyándose en el siguiente resultado:
Si X es una variable aleatoria cuya función de distribución FX  x  esconocida, se verifica
que la variable aleatoria U  F  X  se distribuye según una ley U ~ U (0,1)
Utilizando este resultado, la aplicación del método consiste en generar tantos valores aleatorios
uniformes en (0,1) como deseemos u1,…,un (es sencillo de generar y está programado en la mayor
parte de software, incluida la Excel) y, deshaciendo el cambio, obtener los valores de la variablealeatoria x1,…,xn mediante la relación ui = F(xi).
En la hoja de cálculo Excel existen ya algunas funciones inversas de distribuciones usuales en la
categoría de funciones ESTADÍSTICAS y, en esos casos, podemos simular variables aleatorias
de esas distribuciones fácilmente.
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En otros casos tendremos que calcular nosotros mismos la función inversa como en el siguiente
ejemplo.
Ejemplo:Simular valores a partir de una variable aleatoria con distribución exponencial
X ~  ( )
o Comenzamos estableciendo la función de distribución de la exponencial: F  x   1  e   x
o Igualamos a los valores de la variable uniforme ui  F  xi   1  e   xi
o Despejamos
ui  1  e

  xi

y

e

             xi  

obtenemos
  xi

la

fórmula

para

la

generaciónde

 1  ui   xi  ln 1  ui  

los

xi :

ln 1  ui 



En esta práctica, se simularán valores de diferentes variables aleatorias tales como una uniforme
discreta UD(N), una binomial Bi(n, p), una uniforme U(a,b), una exponencial Exp() y una
normal N(, σ).

3.- Obtención de los histogramas y aproximación a la función de densidad
Dados los valores observados de unavariable aleatoria podemos construir los histogramas y el
polígono de frecuencias que nos permitan aproximar a una función de densidad y determinar la
distribución de probabilidad.
En primer lugar, debemos construir los límites de las clases en que se divide el rango de valores
observados. A continuación deberemos calcular la frecuencia observada en cada clase, es decir,
contabilizar elnúmero de datos que hay en cada clase. Posteriormente, podemos obtener la
densidad de frecuencia para dibujar el histograma de frecuencias y con un gráfico combinado
podemos representar el polígono de frecuencias. Este histograma o bien el polígono de
frecuencias nos dará idea del tipo de función de densidad y, por lo tanto, de la distribución de
probabilidad que se puede ajustar.

4.- Ilustrarlas aproximaciones entre las distribuciones Binomial, Poisson y Normal
- Aproximación Binomial-Poisson
Si X  Bi(n,p) entonces se verifica que:
P[X = x | XBi(n,p)]  P[Y = x | Y(np)]
P[X  x | XBi(n,p)]  P[Y  x | Y(np)]
cuando n , p0 y np   cte. La aproximación tiende a funcionar mejor cuanto más
grande es 

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- Aproximación Binomial-Normal con corrección de continuidad...