Rentas Fraccionada

Rentas Financieras. Renta fraccionada

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6. RENTA FRACCIONADA
Una renta fraccionada se caracteriza porque su frecuencia no coincide con la frecuencia de
variación del término de dicha renta.
Las características de la renta fraccionada son las siguientes:
• Periodo de la renta: P (Frecuencia de la renta: m=1/P).
• Periodo de la variación del término: P’ (Frecuencia de la variación deltérmino: M=1/P’).
• Número de términos de la renta: n.
• Número de términos de cuantía diferente en el plazo de la renta: N.
• El término general de la renta fraccionada es Cr , donde r=1,2,...,N puesto que el término
sólo cambia N veces de cuantía.
• Número de términos de igual cuantía dentro de cada periodo de variación: k.

Se cumple que k =

m P′ n
=
=.
MPN

El esquema temporal deuna renta fraccionada, vencida, inmediata y temporal, es el
siguiente:
C1
0

C1

P

2P

...........

C1

............ kP

C2

C2

.........

C2

(k+1)P (k+2)P ........ 2kP

............

CN

............ nP años

Como se desprende del esquema anterior, el término de la renta no varía cada periodo sino
que lo hace cada k periodos. Así, durante los k primerosperiodos el término es el mismo y se
simboliza por C1 , durante los k segundos periodos el término también es el mismo y se
simboliza por C2 , aunque distinto a los primeros k periodos y así sucesivamente. Una renta
fraccionada se puede considerar como un conjunto de N rentas constantes.
Para hallar el valor actual de la renta fraccionada se sustituye, en primer lugar, cada una de las
N rentasconstantes por su valor final:

Rentas Financieras. Renta fraccionada

C1
0

C1

...........

C1

P

2P

..........

kP

C2

C2

.........

C2

(k+1)P (k+2)P ........ 2kP

V1

V2

............

2

CN

............ nP años
............

VN

El valor final de una renta de k términos de cuantía constante Cr y de frecuencia m es:

Vr = Cr ⋅ sk

Im

r =1,2,...,N

Así, la renta original puede sustituirse por otra renta de N términos de cuantía variable
Vr ,

r = 1,2,...,N y de periodicidad P ' , esto es de frecuencia M, cuyo esquema temporal es:

V1
0

P

V2

............

VN

2P ........... P’=kP (k+1)P (k+2)P ..... 2P’=2kP ........ NP’=nP años

f
El valor actual de la renta fraccionada, V0 , se obtiene del siguiente modo:V1
0

V0f

V2

............

P’

2P’ ............

VN
NP’ años

Rentas Financieras. Renta fraccionada

N

f
V0 = ∑ Vr ⋅ (1 + IM )

N

−r

= ∑ Cr ⋅ sk

r =1

(1 + Im )

k

=
=

−1

Im

r =1

N

⋅ ∑ Cr ⋅ (1 + IM )
r =1

Im
−r

⋅ (1 + IM )

=

−r

3

=

IM N
−r
⋅ ∑ Cr ⋅ (1 + IM ) =
Im r =1

N
IM M
i
i
−r
−r
auxiliar
⋅ ⋅ ∑ k ⋅Cr ⋅ (1 + IM ) = M ⋅ ∑ C 'r ⋅ (1 + IM ) = M ⋅ V0
Im m r =1
im r =1
im
N

Vauxiliar
0

En definitiva,
f
V0 =

iM
auxiliar
⋅ V0
im

a
V0 uxiliar es el valor actual de una renta, denominada auxiliar, cuyas características son las

siguientes:
• Su frecuencia es igual a la frecuencia de variación de la renta fraccionada: M.
• El número de términos (y, por tanto, el número deperiodos) coincide con el número de
términos de cuantía diferente en todo el plazo de la renta fraccionada: N.
• El término de la renta es Cr′ = k ⋅ Cr

(r=1,2,...,N) y cada uno de ellos se sitúa donde está el

último término de cuantía Cr . Así, por ejemplo, el primer término de la renta auxiliar
′
C1 = k ⋅ C1

se sitúa donde está el último término de cuantía C1 .

El esquema de larenta auxiliar asociada al de la renta fraccionada es el siguiente:

Renta fraccionada
C1
0

C1

...........

C1

P

2P

...........

kP

C2

C2

..........

C2

(k+1)P (k+2)P ......... 2kP

............

CN

......... nP años

Renta auxiliar
C’1 = k⋅C1

0

P’=kP

C’2 = k⋅C2 ...... C’N = k⋅CN

2P’=2kP ....... NP’=nkP años

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