Repaso analisis vectorial

Curso de ELECTROMAGNETISMO
Instituto de Física
Facultad de Ciencias.
CÁLCULO VECTORIAL (Revisión)
1. Campos escalares y vectoriales
Sea Oxyz un sistema cartesiano de coordenadas e (i,j,k) la base ortonormal
(versores) que permite expresar cualquier punto del espacio mediante el vector
posición:
r ! ix " jy " kz .

(1)

Si se rota el sistema de coordenadas manteniendo fijo el origen O, se efectúaun
cambio de base a (i’,j’,k’) de un nuevo sistema Ox’y’z’. En esta base, la posición de
un punto del espacio se expresa como
r # ! i #x # " j# y # " k #z # .

(2)

Un mismo punto P del espacio queda indicado en ambos sistemas con la condición
r ! r # $ ix " jy " kz ! i #x # " j# y # " k #z # .

(3)

Como ambas bases son ortonormales, tenemos que los productos escalares entre
los versores es i # %j# ! i # % k # ! j# % k # ! 0 , y i # % i # ! j# % j# ! k # % k # ! 1. Multiplicando
(3) por i’, por j’ y por k’ obtenemos que las coordenadas x,y,z de un punto P
cambian su valor a x’,y’,z’ ante la transformación lineal de rotación:
x ' ! & 11 x " & 12 y " & 13 z ,
y' ! & 21 x " & 22 y " & 23 z ,
z ' ! & 31x " & 32 y " & 33 z.

(4)

Donde & 11 ! i # % i, & 12 ! i # % j , ...etc. Los coeficientes& ij de la transformación
lineal son los cosenos directores de los ángulos entre los ejes de los sistemas
original y rotado.
Un campo escalar ' r ! ' x , y , z es una función ': R3 ( R cuyo valor no
cambia ante una rotación arbitraria del sistema de coordenadas. Esto es, si un punto
P de coordenadas x,y,z, pasa a tener las coordenadas x’,y’,z’ en el sistema rotado, el
valor de la función ' en lasnuevas coordenadas es igual al anterior:

bg b

g

b g bg

b

g b

g

' # r # ! ' r $ ' # x #, y #, z # ! ' x , y , z .

(5)

Ejemplos: temperatura en un recinto, densidad de una nube de partículas, energía
potencial de una partícula, etc.

1

bg b

g

Un campo vectorial F r ! F x , y , z es una función F: R3 ( R3 que se expresa
mediante una terna ordenada de funciones Fk : R3 ( R llamadascomponentes del
campo vectorial:

bg

bg

bg

bg

F r ! iFx r " jFy r " kFz r .

(6)

Ante una rotación arbitraria del sistema de coordenadas, cada una de las
componentes cambia su valor de la misma forma que cambian las coordenadas. Esto
es, de acuerdo con (4),

bg
bg
bg bg
F ' br # g ! & F br g " & F br g " & F br g,
F ' br #g ! & F br g " & F br g " & F br g.
Fx ' r # ! & 11 Fx r " & 12 Fy r " & 13Fz r ,
y

21 x

22

y

23

z

z

31 x

32

y

33

z

(7)

Ejemplos de campos vectoriales son: el campo de velocidades de un fluido, el
campo gravitatorio de fuerzas, campo eléctrico, campo magnético, etc.
Un escalar también se llama tensor de orden 0 y a un vector también se le llama
tensor de orden 1.
Este comportamiento de las magnitudes físicas ante una rotación arbitraria del
sistema decoordenadas se generaliza para campos tensoriales de mayor orden. Por
ejemplo, un campo tensorial de orden 2 es un conjunto de nueve números ordenados
Tij donde i,j=x,y,z, que ante una rotación se convierten en los nueve números

bg

3

3

bg

Tij# r # ! ) ) & ik & jl Tkl r .
k !1 l !1

(8)

Ejemplos de tensores de orden 2 son: el tensor de inercia de un rígido, el tensor de
tensiones en el interior deun cuerpo, el tensor de deformaciones de un cuerpo, la
permitividad eléctrica en los cristales, etc.
2. Representación geométrica de un campo vectorial
Un vector F en el punto P(x,y,z) de un campo vectorial se puede representar
geométricamente como un segmento orientado (flecha), cuyas proyecciones sobre los
tres ejes de coordenadas son los componentes del vector (figura 1). Un simple cálculomuestra que, ante una rotación arbitraria de la terna de ejes, cada proyección cambia de
acuerdo con las transformaciones lineales (7).

2

Figura 1
3. Operaciones básicas
Entre los vectores están definidas las operaciones básicas que el estudiante conoce de
la secundaria, y que definen un espacio vectorial:
F " G ! Fx " Gx , Fy " G y , Fz " Gz .
F " 0 ! F, donde 0 ! 0,0,0 .

(9)

aF ! aFx , aFy ,...