REpaso de Calculo UPRRP

Universidad de Puerto Rico, R´ Piedras
ıo
Facultad de Ciencias Naturales
Departamento de Matem´ticas
a
San Juan, Puerto Rico

T´picos a cubrir en MATE 3151 - Examen 1
o
Para el primer examenlos estudiantes deben saber:
1. Definici´n del l´
o
ımite.
2. Probar l´
ımites de funciones usando ε − δ
3. Evaluar l´
ımites.
4. Enunciar y aplicar el Teorema del Emparedado.
5. La definici´nde continuidad en un punto.
o
6. Diferentes tipos de discontinuidad.
7. Encontrar as´
ıntotas v´rticales y horizontales.
e
8. Enunciar y aplicar el Teorema del Valor Intermedio.

Ejerciciosde pr´ctica para MATE 3151 - Examen 2
a
1. Considere la funci´n f (x) en la siguiente figura. Encuentre (si existe) lo siguiente: (10 pts)
o

(a) lim f (x) =
x→1−

(b) lim f (x) =
x→1

(c)lim f (x) =
x→2

1

(d) f (2) =

(e) lim f (x) =
x→3

2. Pruebe de forma rigurosa (ε − δ) los siguientes l´
ımites:
(a) lim 4x + 2 = 6
x→1

(b) lim x2 − x + 2 = 4
x→2

1
1
=
x→3 x3

(c) lim

3. En los siguientes problemas se le da una funci´n y n´meros L, c y ε > 0. Encuentre un δ > 0
o
u
tal que para toda x que satisface 0 < |x − c| < δ se cumple la desigualdad |f (x)− L| < ε.
(a) f (x) = 4x + 3,

L = 7,

2

(b) f (x) = x + x + 1,
2

(c) f (x) = 2x + 3x + 4,

c = 1,

L = 13,

ε = 0.01

c = 3,

L = 3,

ε = 1/3

c = −1,

ε = .005

4.Encuentre los siguientes l´
ımites
x2 + x − 6
(a) lim 2
x→2 x − 3x + 2

2x2 + 2x − 4
(b) lim
x→−2 x2 + 3x + 2

sin(3x)
x→0 sin(7x)

(e) lim

1 − cos(x)
x→0
x2

tan x2
sin(3x)

(h)lim

(d) lim

(g) lim

x→0

3 sin(x2 ) + x cos(x) − x
x→0
x2

√
(c) lim

x→3

3x + 7 − 4
x2 − 9

(f) lim−

2−x
|x − 2|

(i) lim+

4 + x2
4 − x2

x→2

x→2

5. Se puedeprobar que para valores de x suficientemente cerca a 0 tenemos
1−

1 − cos2 (x)
x2
x2
≤
≤1− .
3
x2
6

Utilice esta informaci´n para encontrar
o
1 − cos2 (x)
.
x→0
x2
lim

6....