Repaso de los logaritmos

Repaso de los logaritmos
Definición
[pic]
Dónde a es la base del logaritmo ( a>0 )
           b es el argumento del logaritmo
         c es el logaritmo en base a de b

Ejemplos
[pic]
Notación: A menudo usamos logaritmos utilizando solamente las bases decimal (a=10) y natural (a=e[pic]2,71828.... que es el número de Euler)

De hecho en la mayoría de las calculadoras que usamoshabitualmente sólo se utilizan estas bases. Por economía de notación se hace caso omiso de las bases cuando trabajamos con logaritmos decimales o naturales (también llamados neperianos).
Por lo tanto:
[pic]
  Notación que se utiliza en las calculadoras
[pic]
 [pic]
[pic]

En Matemática, el logaritmo es la función inversa de la función potencia x = bn, que permite obtener n. Esta función se escribecomo n = logb x. Es el exponente o potencia a la que un número fijo, llamado base, se ha de elevar para dar un número dado. Por ejemplo, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2. Esto se escribe como log10 100 = 2.
Por ejemplo:
34 = 81 [pic][pic]
El logaritmo es una de tres funciones relacionadas entre sí: en bn = x, b puede ser encontrado con radicales, n con logaritmosy x con exponenciación. Se denomina logaritmo neperiano o logaritmo natural (ln) al logaritmo en base e de un número.
Uso de logaritmos
La función logb(x) está definida dondequiera que x es un número real positivo y b es un número real positivo diferente a 1.
Para enteros b y x, el número logb(x) es irracional (no puede representarse como el cociente de dos enteros) si b o x tiene un factorprimo que el otro no tiene.
Bases
Son comunes los logaritmos en base e (logaritmo neperiano), base 10 (logaritmo común), base 2 (logaritmo binario), o en base indefinida (logaritmo indefinido).
 Logaritmos en otras bases
La elección de un determinado número como base de los logaritmos no es crucial, debido a que se pueden hacer conversiones de una base a otra de forma sencilla. Para ello, es útilla siguiente fórmula que define al logaritmo de x en base b (suponiendo que b, x, y k son números reales positivos y que tanto "b" como "k" son diferentes de 1):
[pic]

en la que "k" es cualquier base válida. Si hacemos k=x, obtendremos:
[pic]
En la práctica, se emplea el logaritmo decimal, que se indica como [pic], en ciencias que hacen uso de las matemáticas, como la química en la medidade la acidez (denominada pH) y en física en magnitudes como la medida de la luminosidad (candela), del sonido (dB), de la energía de un terremoto (escala de Richter), etc. En informática se usa el logaritmo en base 2 la mayoría de veces. Las propiedades de los logaritmos son una base que facilita aún más su resolución.

Logaritmo natural
En cálculo se llama logaritmo natural o logaritmoneperiano a la primitiva de la función:
[pic] que toma el valor 0 cuando la variable x es igual a 1, es decir:
:
[pic]para x > 0.
También se llama así al logaritmo obtenido tomando como base el valor del número trascendental "e" (aproximadamente igual a 2,718 281 828...).
La función logaritmo natural es la inversa de la función exponencial: [pic].
Deducción
[pic]
La derivada de la función [pic]es[pic]. Al dividir ambos lados de la expresión por "n" y observar el resultado, se puede afirmar que una primitiva de [pic]es [pic](con m = n - 1).
Este cálculo obviamente no es válido cuando m = - 1, porque no se puede dividir por cero. Por lo tanto, la función inversa 1/x es la única función "potencia" que no tiene una primitiva "potencia". Pero esta función es continua sobre el rango (0; + ∞)lo que implica que tiene forzosamente una primitiva en este intervalo, y también sobre ( - ∞ ; 0) ).
En resumen: [pic], y [pic].
La función [pic]es estrictamente creciente pues su derivada es estrictamente positiva, y tiene límites infinitos en 0+ y en + ∞.
La tangente Te que pasa por el punto de abscisa e de la curva, pasa también por el origen. La tangente T1 que pasa por el punto de...