Repaso de matrices

´ REPASO MUY BASICO DE MATRICES

1.
1.1.

Matrices. Operaciones con matrices
Introducci´n o

Las matrices aparecieron por primera vez hacia el a˜o 1850, introducidas por el ingl´s n e J. J. Sylvester. Su desarrollo se debe a W. R. Hamilton y a A. Caley. Adem´s de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices a aparecen de manera natural en geometr´ estad´ıa, ıstica, econom´ y tambi´n en las ciencias ıa e naturales. Actualmente, muchos programas de ordenador utilizan el concepto de matriz. As´ las ı, hojas de c´lculo funcionan utilizando una inmensa matriz con cientos de filas y de columnas a en cuyas celdas se pueden introducir datos y f´rmulas para realizar c´lculos a gran velocidad. o a Esto requiere utilizar t´cnicas de operaciones con matrices. eUna matriz es una tabla ordenada de n´meros por filas y columnas. Diremos que la u matriz A es de orden (m, n) si tiene m filas y n columnas, por ejemplo, las matrices


−1 0    1 2 ,   2 3





5 0 1 −2

,

1 0 −3.5 9 3 −1

,

2 2 −3    0.5 5 1 ,   −1 −2 0



son de ´rdenes (3, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 3) respectivamente. Los vectores tambi´n son matrices, o e deuna fila o una columna:   1    −2  , −2 0 1   3 Los elementos de la matriz se llaman aij , donde i es el n´mero de fila y j el n´mero de u u columna. Por ejemplo, en la primera matriz anterior, tenemos los siguientes elementos: a11 = −1, , a12 = 0, a32 = 3, a22 = 2.

Si el n´mero de filas coincide con el n´mero de columnas de una matriz, es decir n = m, u u ´sta se dice que es cuadrada deorden n. Por ejemplo, las matrices e


−0.3 1 1 2

,

−2 1 0 5    2.5 1 1 ,   −1 −2 12



son matrices cuadradas de ´rdenes 2 y 3 respectivamente. En las matrices cuadradas, los o elementos con igual n´mero de fila que de columna, aii forman la diagonal principal. En las u matrices anteriores, las diagonales principales son (−0.3, 2) y (−2, 1, 12) respectivamente. Dos matricesson iguales si tienen el mismo orden y adem´s los mismos elementos. a 1

La matriz traspuesta de una matriz de orden (m, n), se escribe AT y es la matriz de orden (n, m) que se obtiene escribiendo sus filas como columnas y por lo tanto, sus columnas como filas. Por ejemplo, AT = −1 2 3 0 4 −5 −1 0    2 es la traspuesta de A =  4 ,  3 −5
 

y viceversa. Llamaremos matriz sim´trica a unamatriz A que coincida con su traspuesta, es decir, e T A = A . Observar que toda matriz sim´trica debe tener el mismo n´mero de filas que de e u columnas, es decir, tiene que ser cuadrada.


1 −3 2    −3 0 1.4    2 1.4 3



es una matriz sim´trica. e

Algunos tipos especiales de matrices son los siguientes: Matriz nula. Es la matriz, 0, en la que todos los elementos son cero:
0 0 0    0 0 0 ,   0 0 0 son matrices nulas.





0 0    0 0 ,   0 0



0 0 0 0

,

Matriz identidad. Es una matriz cuadrada, I, cuyos elementos son ceros excepto en la diagonal principal donde todos los elementos son uno:
     

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

   ,  



1 0 0 1

,

1 0 0    0 1 0 ,   0 0 1



son matricesidentidad de ´rdenes o dimensi´n 4, 2 y 3 respectivamente. o o Matriz triangular superior. Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos. 2 −1 3    0 1 U = 2   0 0 −3
 

es triangular superior.

Matriz triangular inferior. Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos por encima de la diagonal principal son nulos. 1 0 0   −2 3 L= 0   0.5 4 −3.1 2
 

es triangular inferior.

1.2.

Operaciones con matrices

Las operaciones que vamos a definir entre matrices son la suma y el producto. Adem´s a tambi´n podremos multiplicar matrices por n´meros reales (escalares). e u 1.2.1. Suma de matrices

Si A, B son matrices del mismo orden (m, n), la matriz suma C = A + B es la que obtendremos sumando elemento...