Repaso de Vectores y Matrices

Repaso de Vectores y Matrices

Universidad de Guadalajara
Departamento de Ciencias Computacionales
Dra. Alma Yolanda Alanís García

El estudio de vectores y matrices es el corazón del álgebra lineal.
El estudio de vectores comenzó esencialmente con el trabajo del
matemático Irlandés Sir William Hamilton (1805-1865). Su
deseo de encontrar una forma de representar ciertos objetos en el
plano y elespacio lo llevo a descubrir lo que llamo
“cuaterniones”.
Esta noción condujo al desarrollo de lo que ahora se llaman
vectores.
Durante todo el siglo XIX hubo un gran debate acerca de la
utilidad de los cuaterniones y vectores; pero hoy casi todas las
ramas de la física se representan mediante este lenguaje, siendo
cada vez más utilizado en las ciencias biológicas y sociales.

Definiciones
Vectorrenglón de “n” componentes
Conjunto ordenado de n números escritos de la siguiente manera:

 x1

x2  xn 

Vector columna de “n” componentes
Conjunto ordenado de n números escritos de la siguiente manera:
 x1 
x 
 2
 
 
 xn 

Componentes de un vector
Es cada uno de los n números que forman a un vector, es decir x1
es el primer componente del vector, x2 es el segundo componente
delvector, ... , xk es el k -ésimo componente del vector

 k  1, 2,, n 
Vector cero

Cualquier vector cuyos elementos sean todos cero
Nota:

El espacio n

n denota al conjunto de todos los vectores con n componentes

Ejemplo:
Clasifique los siguientes vectores

3

6

2
 1
 
5
 
 2 1 0 4 
0
0
 
0
 
0

Vector renglón  

4

Matriz
Una matriz A de m×n es un arreglorectangular de mn números
dispuestos en m renglones y n columnas
 a11
a
A   21
 

 am1
Col 1

 a1n  Renglón 1
 a2 n  Renglón 2

  


 amn  Renglón m
Col n


a12
a22

am 2

Componente o elemento ij de A aij
Es el número que aparece en el renglón i y la columna j de la
matriz A. En ocasiones se escribe la matriz A como A=(aij). Por
lo general las matrices se denotan conmayúsculas y los vectores
con minúsculas.

Matriz cuadrada
Matriz con igual número de renglones que de columnas (m=n).
Matriz Rectangular
Matriz con m≠n
Matriz cero
Matriz m×n con todos los elementos iguales a cero
Nota: Josep Sylvester fue el primero en utilizar el término
“matriz” en 1850, la intención era que significará “madre de los
determinantes”

Igualdad de matrices
Dos matrices A   aij  y B  bij  son iguales si
1)
2)

Son del mismo tamaño y
Los componentes correspondientes son iguales

Nota: Los vectores son matrices de un renglón o de una columna
1n  n
n1  n

Operaciones con matrices
Suma de matrices

Sean A   aij  y B   bij  dos matrices de m  n. Entonces la suma
de A y B es la matriz de m  n, A  B dada por:
 a11  b11
 a b
A  B   aij  bij    21 21


 am1  bm1

a12  b12
a22  b22

am 2  bm 2

 a1n  b1n 
 a2 n  b2 n 





 amn  bmn 

Es decir, A  B es la matriz de m  n que se obtiene al sumar las
componentes correspondientes de A y B

Multiplicación de una matriz por un escalar

Si A   aij  es una matriz de m  n y si  es un escalar, entonces
la matriz de m  n,  A está dada por:
  a11  a12
a
 a22
21

 A  aij  
 


  am1  am 2

  a1n 
  a2 n 


 

  amn 

Ejemplos:
1.

Clasifique las siguientes matrices
1
4

 1
4

1


3
2 
3
0

2 

 1 4 1 
 3 0 2



Matriz rectangular  23

2. Sean las matrices
2  3
 4 1 5
1  3 1
 2 3 0 
4 1 
A
,B 
,C  
,D 




2
3
0
1
1
1
4
6
6
5
1
4
2
3














Complete las siguientesrelaciones
A_____B
A_____C
A_____D
B_____C
B_____D
C_____D

3. Sume las siguientes matrices
 2 4 6 7   0 1 6 2 
 1 3 2 1   2 3 4 3 


 
 4 3 5 5   2 1 4 4 

 


 1 3 4 2 
4. Sea A   3 1 4 6  encuentre 2A


 2 3 5 7 


 4
 2 
6
 4
5. Sean a    y b    encuentre 2a-3b
1
 3 
 
 
 3
 0

Producto punto, escalar o interno

 a1 
...