Repaso Lineal 1 1

1.1

Sistemas de ecuaciones lineales

11

1.1 E JERCICIOS
Resuelva los sistemas de los ejercicios 1 a 4 usando las operaciones elementales de ila sobre las ecuaciones o sobre la matriz
aumentada. Utilice el procedimiento de eliminación sistemática
descrito en esta sección.

7

2. 2x1 + 4x2 = −4

−2x1 − 7x2 = −5

5x1 + 7x2 = 11

x1 + 5x2 =

1.

3. Encuentre el punto (x1, x2) que pertenece tanto ala línea x1 +
5x2 = 7 como a la línea x1 − 2x2 = −2. Vea la igura.


1 −1
0
0 −4
0
1 −3
0 −7 

9. 
0
0
1 −3 −1 
0
0
0
2
4


1 −2
0
3 −2
0
1
0 −4
7

10. 
0
0
1
0
6
0
0
0
1 −3


Resuelva los sistemas de los ejercicios 11 a 14.
x2

x1 – 2x2 = –2

x1 + 5x2 = 7

11.

x2 + 4x3 = −5
x1 + 3x2 + 5x3 = −2
3x1 + 7x2 + 7x3 = 6

12.

x1 − 3x2 + 4x3 = −4
3x1 − 7x2 + 7x3 = −8
−4x1 + 6x2 − x3 = 713.

x1
− 3x3 = 8
2x1 + 2x2 + 9x3 = 7
x2 + 5x3 = −2

x1

4. Encuentre el punto de intersección de las rectas x1 − 5x2 = 1
y 3x1 − 7x2 = 5.
Considere cada matriz de los ejercicios 5 y 6 como la matriz aumentada de un sistema lineal. Exprese con sus propias palabras
las siguientes dos operaciones elementales de ila que deben realizarse en el proceso para resolver el sistema.



1 −4
5
0
1 −3

5.
0
0
1
0
0
0

1 −6
4
0
2 −7

6. 
0
0
1
0
0
3

En los ejercicios 7 a 10, la matriz aumentada de un sistema lineal
ha sido reducida mediante operaciones de ila a la forma que se
muestra. En cada caso, ejecute las operaciones de ila apropiadas
y describa el conjunto solución del sistema original.



1
0

7. 
0
0


7
3 −4
1 −1
3

0
0
1
0
1 −2



1 −4
1
8.  0
0
0

9
7
2


0
0
0

=5
x1− 3x2
−x1 + x2 + 5x3 = 2
x2 + x3 = 0

Determine si los sistemas de los ejercicios 15 y 16 son consistentes. No resuelva los sistemas por completo.

15.

+ 3x3
− 3x4
x2
− 2x2 + 3x3 + 2x4
+ 7x4
3x1

16.

− 2x4
2x2 + 2x3
x3 + 3x4
−2x1 + 3x2 + 2x3 + x4



0
7
0
6

0
2
1 −5

0 −1
0
4

2 −3 
1
6

14.

x1

x1

= 2
= 3
= 1
= −5
= −3
= 0
= 1
= 5

17. ¿Las tres rectas x1 − 4x2 = 1, 2x1 − x2 = −3, y−x1 − 3x2
= 4 tienen un punto de intersección común? Explique su respuesta.
18. ¿Los tres planos x1 + 2x2 + x3 = 4, x2 – x3 = 1, y x1 + 3x2 =
0 tienen al menos un punto de intersección común? Explique
su respuesta.
En los ejercicios 19 a 22, determine el valor o los valores de h
tales que la matriz dada es la matriz aumentada de un sistema
lineal consistente.

12

Capítulo 1

19.

1
3

21.

1−4

h
6

4
8
3 −2
h
8

Ecuaciones lineales en álgebra lineal

20.

1
−2

22.

2 −3
−6
9

es consistente para todos los valores posibles de f y g. ¿Qué
puede airmarse acerca de los números a, b, c y d? Justiique
su respuesta.

h −3
4
6
h
5

En los ejercicios 23 y 24, varios enunciados clave de esta sección
se citan directamente, se han modiicado un poco (pero siguen
siendo verdaderos), o se hanalterado de alguna forma que los
vuelve falsos en algunos casos. Marque cada enunciado como verdadero o falso y justiique su respuesta. (Si el enunciado es verdadero, dé la ubicación aproximada en el texto donde aparece uno
similar o haga referencia a una deinición o teorema. Si es falso,
dé la ubicación del enunciado que se cita o utiliza de manera incorrecta, o proporcione un ejemplo que muestre que noes verdadero
en todos los casos.) En muchas secciones de este texto aparecerán
preguntas similares del tipo verdadero/falso.
23. a. Todas las operaciones elementales de ila son reversibles.
b. Una matriz de 5 × 6 tiene seis ilas.
c. El conjunto solución de un sistema lineal que incluya las
variables x1, . . . , xn es una lista de números (s1, . . . , sn) que
hace de cada ecuación del sistema unenunciado verdadero
cuando los valores s1, . . . , sn sustituyen, respectivamente,
a x1, . . . , xn.
d. Las dos preguntas fundamentales acerca de un sistema lineal involucran la existencia y la unicidad.
24. a. En una matriz aumentada, las operaciones elementales de
ila no cambian nunca el conjunto solución del sistema lineal asociado.
b. Dos matrices son equivalentes por ilas cuando poseen el...