Repaso Logaritmos

CALCULO DIFERENCIAL
Escuela Colombiana de Ingeniería

1.6. BREVE REPASO DE LOGARITMOS.
Sistemas de Logaritmos.
Si cualquier número positivo puede tomarse como Base, existe infinito número de
sistemas de logaritmos, pero tradicionalmente, solo se utilizan dos sistemas:
o Logaritmos Vulgares, aquellos cuya base es 10, y se expresan como Log10 ., o
como Log
o Logaritmos Naturales oNeperianos, cuya base es el número e, y se expresan
como Log e , o lo que es lo mismo como Ln .

Propiedades Generales de los Logaritmos.
1. La Base de un sistema de logaritmos no puede ser negativa.
Al ser negativa, se tendría potencias pares que son positivas y potencias
impares que son negativas, lo que genera número sin logaritmo.
2. Los números negativos no tiene logaritmo.
3. En todo sistemade logaritmos, el logaritmo de la base es 1.
4. En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de 1 es cero.
5. Los números mayores que 1 tienen logaritmo positivo.
6. Los número menores que 1 tienen logaritmo negativo.

Reglas de los Logaritmos:
Para las siguientes reglas debe cumplirse que A ≥ 0 ; B ≥ 0 y c ≠ 1

Regla No.1

Logaritmo de un Producto
El logaritmo de un producto es igual ala suma de los
logaritmos de los factores.

Log c ( A × B) = Log c ( A) + Log c ( B )

1.

- Preliminares

Ing. Juan Manuel Sarmiento Pulido

CALCULO DIFERENCIAL
Escuela Colombiana de Ingeniería

Regla No.2

Logaritmo de un Cociente
El logaritmo de un producto es igual al logaritmo dividendo
menos el logaritmo del divisor.

Log c ( A / B ) = Log c ( A ) − Log c ( B )

ReglaNo.3

Logaritmo de una Potencia
El logaritmo de una potencia es igual al exponente
multiplicado por el logaritmo de la base.

Log c ( A n ) = n ( Log c ( A ) )

Regla No.4

Logaritmo de una Raíz
El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad
subradical dividido entre el índice de la raíz.

Log c

Regla No 5.

n

A =

(

Log c ( A)

)

n

, donde A ≥ 0; n ≠ 0

Definiciones de Logaritmos

c

Log c ( M )

=M,

y

Log c C n = n

1.

- Preliminares

Ing. Juan Manuel Sarmiento Pulido

CALCULO DIFERENCIAL
Escuela Colombiana de Ingeniería

Ejemplo
Escriba Log a

Log a

x2

( x − 1)
x2

3

como una diferencia de logaritmos.

= Log a x 2 − Log a ( x − 1) =
−3

( x − 1)

3

Expresando las potencias comofactores

Log a x 2 = 2 Log a x

Por tratarse del logaritmo de una potencia

Log a ( x − 1) = − 3 Log a ( x − 1)

Por tratarse del logaritmo de una potencia

−3

Log a

x2

( x − 1)

3

= 2 Log a x + 3 Log a ( x − 1) =

Reemplazando en la expresión original

Propiedades de los logaritmos Vulgares ( Base 10 )
a. En este sistema los únicos números cuyos logaritmos son númerosenteros son las
potencias de 10.
b. El logaritmo de todo número que no sea una potencia de 10 será una fracción propia
o un número entero más una fracción propia, entendiéndose como Característica el
número entero y la Mantiza la fracción.
Como Log ( 1 ) = 0 y Log ( 10 ) = 1 , los números comprendidos entre 1 y 10 tendrán
un logaritmo entre 0 y 1.
Como Log ( 10 ) = 1 y Log ( 100 ) = 2 , losnúmero comprendidos entre 1 y 2 tendrán
como número entero del logaritmo el número 1, más una fracción propia de cada
número.
c. Valor de la Característica.
Para un número comprendido entre 1 y 10, la característica es 0.
Para un número mayor que 10, la característica será un número menor que el número
de cifras enteras del número.
d. Valor de la Mantiza

1.

- Preliminares

Ing. JuanManuel Sarmiento Pulido

CALCULO DIFERENCIAL
Escuela Colombiana de Ingeniería

En los números menores que 1, la característica es negativa, pero la mantisa es
positiva.

Cambio de Base
En ocasiones se hace necesario calcular logaritmos que tiene Base diferente a las dos
expuestas anteriormente, Base 10 o Base e. Cuando esta situación se presenta se hace
necesario realizar un cambio de...