REPASO UIII C LCULO I SOLUCIONES

Vicerrectoría Académica
Dirección de Servicios Académicos
Subdirección de Servicios a Escuelas

SOLUCIONES GUÍA RESUMEN UNIDAD III

Ejercicio Nº1
a)

Significado
Unidad de
Medida

b)

𝒅𝑯
= 𝑯´(𝒕)
𝒅𝒕

𝒕

Variables

Tiempo

Tasa de crecimiento población

Años

Personas/año

𝑯(𝒕)
Población
Cantidad de
personas

5

𝐻(𝑡) = 100𝑡 3 + 500𝑡 + 𝑐
5

𝐻(0) = 100 ∙ 03 + 500 ∙ 0 + 𝑐 = 2.500
2.500 = 𝑐
5

c)

𝐻(𝑡)= 100𝑡 3 + 500𝑡 + 2.500
La función 𝐻(𝑡) corresponde a la cantidad de habitantes después de t años

d) 𝐻(5) ≈ 6.462
Respuesta: Dentro de 5 años la población será de 6.462 habitantes
Ejercicio Nº2
a)

b)

c)

𝒕

𝑹(𝒕)

∫ 𝑹(𝒕)𝒅𝒕 = 𝑷(𝒕)

Tiempo

Rapidez Instantánea

Posición

minutos

Metros/minuto

metros

1

𝑃(𝑡) = ∫ 𝑅(𝑡)𝑑𝑡 = 3𝑡 + 0,1𝑡 2 + 6 𝑡 3 + 𝑐
1
𝑃(0) = 3 ∙ 0 + 0,1 ∙ 32 + ∙ 03 + 𝑐 = 2
6
1
𝑃(𝑡)= 3𝑡 + 0,1𝑡 2 + 𝑡 3 + 2
6
𝑃(3) = 16,4

𝑃(0) = 2
⇒𝑐=2

A los 3 minutos el tren se encuentra a 16,4 metros del punto de partida

1

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Ejercicio Nº3
𝑥

EP = 𝑦0 ∙ 𝑥0 − ∫0 0 𝑂(x)dx donde

𝑦0 = 𝑂(𝑥0 )

𝑥0 = 100

𝑦0 = 𝑂(100) ≈ 6.201,66667

𝑦0 ∙ 𝑥0 = 620200
1
𝑥 3 + 6.200𝑥 + 𝑐
18.000

∫ 𝑂(𝑥)𝑑𝑥 =

100

∫

𝑂(𝑥) =620.055

0
𝑥

𝑦0 ∙ 𝑥0 − ∫0 0 𝑂(x)dx = 6.366.666 − 6.255.555,56 = 111.110
El excedente del productor al vender 100 calculadores corresponde a $110.110

Ejercicio Nº4
a)

𝑇(4) = −0,4
Respuesta: La Temperatura a las 4 de la madrugada es de -0,4ºc

b)

1

b

VP(f(x)) = b−a ∙ ∫a f(x)dx
𝑎=0

;

b=7

41

∫ 𝑇 (ℎ) = 300 ℎ3 − 1,62ℎ2 + 6𝑥 + 𝐶
7

∫0 𝑇 (ℎ) ≈ 9,5

1

VP = 7 ∙ 9,5 ≈ 1,36

Respuesta: LaTemperatura promedio entre la medianoche y las 7 de la mañana, fue
1,36°C.

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Ejercicio N5

a)

𝒙

Variables
Significado
Unidad de
Medida

b)

𝑰𝑴(𝒙)

∫ 𝑰𝑴(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑰(𝒙)

Artículos

Ingreso Marginal

Ingreso

Unidades

Dólares/unidad

dólares

𝐼(𝑥) = −5𝑒 −0,2𝑥 + 0,01𝑥 2 + 1𝑥 + 𝑐

𝐼 (40) = 61
−5𝑒 −0,2∙40 + 0,01 ∙402 + 1 ∙ 40 + 𝑐 = 61

𝑐≈5
𝐼(𝑥) = −5𝑒 −0,2𝑥 + 0,01𝑥 2 + 1𝑥 + 5
c)

La función 𝐼(𝑥) corresponde a los ingresos en dólares por la venta de x artículos

Ejercicio N°6
𝑑(𝑡) = ∫(20𝑡 − 38) 𝑑𝑡
𝑑(𝑡) = 20

𝑑(0) = 100

𝑡2
− 38𝑡 + 𝑐 ⇒ 𝑑(𝑡) = 10𝑡 2 − 38t + c (𝐅𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐢𝐬𝐭𝐚𝐧𝐜𝐢𝐚 𝐨 𝐏𝐨𝐬𝐢𝐜𝐢ó𝐧)
2

𝑑(0) = 0 − 0 + c ⟹ c = 100
𝑑(𝑡) = 10𝑡 2 − 38t + 100
𝑑(10) = 10 ∙ 102 − 38 ∙ 10 + 100 = 720
Respuesta: Se encuentra a 720metros de su casa a los 10 segundos de haber
entrado a la carretera.

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Ejercicio N°7
a)

𝑃(𝑡) = ∫(135 ∙ 𝑒 0,75𝑡 ) 𝑑𝑡

𝑃(0) = 25.180

0,75𝑡

𝑃(𝑡) = 135 ∙

𝑒
+ 𝑐 ⇒ 𝑃(𝑡) = 180 ∙ 𝑒 0,75𝑡 + c
0,75

𝑃(0) = 180 + c ⟹ 25.180 = 180 + c ⇒ c = 25.000
𝑃(𝑡) = 180 ∙ 𝑒 0,75𝑡 + 25.000
b)

Interpretación: La función𝑃(𝑡) entrega en la cantidad de habitantes de cierta
población dentro de 𝒕 años

c)

𝑃(3) = 180 ∙ 𝑒 (0,75∙3) + 25.000 = 26.707,79
Respuesta: Dentro de tres años la población será de 26.708 habitantes
aproximadamente.

Ejercicio N°8
a)

𝑉(𝑡) = ∫(960 ∙ 𝑒 0,8𝑡 ) 𝑑𝑡
𝑉(𝑡) = 960 ∙

𝑉(0) = 1.500

𝑒 0,8𝑡
+ 𝑐 ⇒ 𝑉(𝑡) = 1.200 ∙ 𝑒 0,8𝑡 + c
0,8

𝑉(0) = 1.200 + c ⟹ 1.500 = 1.200 + c ⇒ c = 300
𝑉(𝑡) = 1.200 ∙ 𝑒0,8𝑡 + 300
b)

Interpretación: La función 𝑉(𝑡) corresponde a las ventas en miles de pesos
después de 𝒕 meses que se aumentó los valores del producto

𝑉(4) = 1.200 ∙ 𝑒 (0,8∙4) + 300 = 29.739,036

c)

Respuesta: A los 4 meses de haber modificado los precios las ventas
corresponderán a $29.739.036

Ejercicio N°9
𝑂(50) = 1,2 ∙ 502 + 130 = 3.130
50

𝐸𝑃 = 50 ∙ 3.130 − ∫ (1,2 𝑞 2 + 130)𝑑𝑞
0
50

50

1,2 𝑞3
𝐸𝑃 = 50 ∙ 3.130 −
| − 130𝑞 |
3 0

0

𝐸𝑃 = 156.500 − 56.500 = 100.000
Respuesta: el excedente de los productores es $100.000 al vender 50 bolsos.

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Ejercicio N°10

𝑉𝑃(𝑇) =

8
1
∙ ∫ (12 + 𝑡 + 0,03𝑡 2 )𝑑𝑡
8−4 4
8

𝑉𝑃(𝑇) =
𝑉𝑃(𝑇) =

1
𝑡2
𝑡3
∙ [12𝑡 + + 0,03 ]
4
2
3 4

1
∙ (133,12 − 56,64) = 19,12
4...