Repersentacion Grafica De Funciones

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
Dada una función f : X → Y con X ,Y ⊂ R definida por y = f(x), vamos a estudiar como se puede
determinar su gráfica o figura geométrica formada por todos los puntos cuyas coordenadas (x,y) verifican la ecuación
y = f(x).
Para el estudio y construcción de la gráfica de una función y = f(x), se consideran los siguientes puntos
fundamentales:

1.- Dominio ocampo de existencia de la función.

⎧ Simé trica respecto al eje OY ( simetría par )
⎪
2.-Simetrías. ⎨ Simé trica respecto al eje OX
⎪ Simé trica respecto al origen ( simetría impar)
⎩

⇒

f(x) = f( − x)

⇒

f(x) = − f(x)

⇒ − f(x) = f( − x)

3.- Periodicidad. ( en el caso de funciones periódicas)

4.- Cortes con los ejes.

5.- Puntos en los que la función tiene signoconstante.

6.- Puntos en los que la función no es continua.

7.- Asíntotas.

⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩

Horizontales o paralelas al eje OX ⇒ Si lim f(x) = L ⇒
x →∞
⇒ y = L es asíntota de f(x)

Verticales o paralelas al eje OY ⇒ Si lim f(x) = ∞ ⇒
x →a
⇒ x = a es asíntota de f(x)
Oblicuas. No paralelas a los ejes. Son de la forma y = mx + n donde :f(x)
m = lim
y n = lim (f(x) − mx)
x →∞ x
x →∞

8.- Máximos, mínimos y puntos de inflexión. Valores de la función en los máximos,
inflexión

mínimos y puntos de

9.- Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

10.- Intervalos de concavidad y convexidad.
11.- Cálculo de algunos puntos que ayuden al trazado de la gráfica de f(x). Y consignar en un cuadro los
puntos notables halladospor orden creciente de abcisas.

Ejemplo:

Hacer el estudio y la representación gráfica de la función f(x) =

2
x + 11
x+5

1.- Dominio o conjunto de definición:
P(x)

Una función racional

, está definida para todo x que verifique Q(x) ≠ 0.

Q(x)

Luego la función f(x) =

R - {-5} = ( -

2
x + 11
x+5

∞,-5)

está definida en el conjunto:

U (-5,

∞)

2.-Simetrías:
Noes simétrica respecto al eje OY, ya que f( - x) ≠ f(x)
No es simétrica respecto al eje OX, ya que - f(x) ≠ f(x)
No es simétrica respecto al origen O (0,0) , ya que f( - x) ≠ - f(x)

3.- Periodicidad. No es periódica, puesto que no es circular.

4.- Corte con los ejes:
Si x = 0

⇒

y=

11

. Luego corta al eje OY en el punto P(0,

⇒

)

5

5
Si y = 0

11

x2 +11 = 0 ⇒ no exite punto de corte con el eje OX.

5.- Regiones en las que tiene signo constante.

Como x2 + 11 > 0 para todo x, y x + 5 > 0 si x > - 5 y x + 5 < 0 si x < - 5,
resulta que:

f(x) > 0 en ( - 5 ,

∞)

y

f(x) < 0 en ( -

∞ , - 5 ).

6.- Puntos de discontinuidad en el dominio.

La función f(x) es continua, puesto que sólo no está definida cuando x + 5 = 0, es decir,para
x = - 5 ∉ D.

7.- Asíntotas.
Horizontales: Si x → ∞ , se verifica que

lim f ( x ) = ∞ ,
x→∞

luego no hay asíntotas horizotales.
Verticales: Si x → − 5 , se verifica que

lim f ( x ) = ∞ ,
x→−5

luego x = - 5 es una asíntota vertical.
2

Oblicuas: y = mx + n.

m=

lim
x→∞

x 2 + 11
x 2 + 11
f (x)
= lim
= lim
=1
x → ∞ x ( x + 5) x → ∞ x 2 + 5x
x

11 − 5x
⎛ x2 + 11
⎞
− 1 • x ⎟ = lim
= −5
n = lim ( f ( x) − mx ) = lim ⎜
x→∞
x →∞ ⎝ x+5
⎠ x→∞ x + 5

Luego, la recta y = x - 5 es una asíntota oblicua.

8.- Máximos, mínimo y puntos de inflexión:
2 x ( x + 5 ) − ( x + 11)

x + 10 x − 11

2

f'(x) =

( x + 5)

2

=

2

( x + 5)

2

si f'(x) = 0 ⇒ x + 10 x − 11 = 0

=

⇒ x=

− 10 ±

( 2 x + 10 )( x + 5 ) − 2 ( x + 5 )( x+ 10 x − 11)
2

f''(x) =

2

2

2

( x + 5)

4

2

10 + 4 • 11

=

− 10 ± 12
2

=

⎡1
⎢ − 11
⎣

( 2 x + 10 )( x + 5 ) − 2 ( x + 10 x − 11)
2

=

( x + 5)

3

=

72
( x + 5)

f ' ' (1) =

3

1

>0

y f ' ' ( − 11) = −

3

1
3

Por consiguiente, la gráfica de f(x) tiene un máximo en el punto:

(- 11, f(- 11) ) = (- 11, - 22 )

y un...