Reporte de Matrices de densidad y Operadores de densidad

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AGUASCALIENTES

TRABAJO PRESENTADO COMO REQUISITO DE LA MATERIA DE:
SIMULACIÓN MOLECULAR

CATEDRÁTICO:
D. NORMA RANGEL

TÍTULO DEL TRABAJO:
REPORTE DE MATRICES DE DENSIDAD Y OPERADORES DE DENSIDAD,
BASADO EN EL CAPÍTULO DOS DEL LIBRO "THE FUNDAMENTALS OF
DENSITY FUCTIONAL THEORY”

POR:
EDIHT SOFÍA MARTÍNEZ RODRÍGUEZ
ESTUDIANTE DE PRIMER SEMESTRE DE M.C.I.Q.

A 02 DE MAYODEL 2015
AGUASCALIENTES, AGUASCALIENTES, MÉXICO

INTRODUCCIÓN
Una matriz de densidad describe un sistema cuántico en un estado mixto, un
conjunto estadístico de varios estados cuánticos en contraste con un estado puro,
descrita por un único vector de estado.

La matriz de densidad es una

representación de un operador lineal llamado el operador de densidad. El operador
de densidad codificatodas las propiedades estadísticas de un sistema cuántico en
la situación general más concebible, en particular, cuando la descripción con un
estado cuántico puro no resulta posible.
Para calcular la mayoría de los elementos de una matriz sólo unas pocas de las
muchas coordenadas de una función de onda de N-partículas son usadas. Las
matrices de densidad son herramientas muy útiles que nos ayudan aextraer la
información más relevante de construcciones monstruosas como lo son las
funciones de onda de N-partículas.

DESARROLLO
Las matrices de densidad son convenientes de trabajar para algunas aplicaciones,
se tienen las matrices de densidad de una o dos partículas del spin dependiente las
cuales pueden diferenciarse debido al número de partículas que tratan y a los
resultados que se obtienen,aunque los procedimientos matemáticos para
obtenerlos pueden realizarse de la misma manera. La matriz de densidad de una
partícula del spin dependiente del estado |Ψ está dada por:
(1)

Los elementos de la matriz de densidad no tienen significado físico, salvo los
términos de la diagonal. El pre-factor N se elige para que en la matriz posterior dé
en la diagonal la densidad espacial de laspartículas [n (r)], este a su vez es la

densidad de probabilidad de medir una de las coordenadas de partícula. En general
los valores propios de la matriz de densidad de una partícula son números reales.
Una matriz de densidad de dos partículas está dada por:

(2)

Al igual que en el caso anterior, por un lado sólo los términos diagonales tienen
significado físico y por otro, la traza (suma de loselementos diagonales) de la matriz
nos da el número total de pares de electrones
Las relaciones del spin independiente son obtenidas en consecuencia tomando el
rastro sobre las variables del spin. Así como para la matriz de una partícula, la
diagonal de la matriz de dos partículas da el par de densidades [n 2 (x1, x2)], es decir
la probabilidad de densidad de encontrar una partícula en x1 y x2.Para aplicarla por ejemplo a fermiones se utiliza como base la ecuación (2) y se
hacen arreglos algebraicos para trabajarla, y debido a la ortonormalidad del spin la
suma de una parte de la ecuación da el resultado, esto no presenta riesgo debido a
que una parte de la ecuación da como resultado cero.
La ecuación presentada a continuación:
(3)

Es el resultado de considerar que N/2 espacios orbitalesson ocupadas por ambas
direcciones del spin, después siguiendo las reglas de la suma dan ciertos factores
y tomando algunas otras consideraciones permiten tener a ecuación anterior. Es
importante porque la última parte de la ecuación (3)
(3.1)

Es una correlación llamada intercambio. Para el caso general se introducen dos
correlaciones diferentes:

(4)

(5)

Si las distancias (r1 – r2) son muygrandes la ecuación (4) tiende a 1 y la ecuación
(5) tiende a 0.
Para el caso de un sistema homogéneo de fermiones no interactuantes, el hueco
de intercambio alrededor del fermión dado depende de la distribución de todos los
demás fermiones. Para los sistemas interactuantes, el intercambio y la correlación
contribuyen a la energía.
Los operadores son una herramienta matemática que nos permite...