Representación De Una Función

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
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Dominio, puntos de corte con los ejes de coordenadas, simetría, periodicidad, asíntotas.

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Monotonía:
Si f’(a) > 0 => f es estrictamente creciente en x = a.Si f’(a) < 0 => f es estrictamente decreciente en x = a.
Ejemplo: Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función

f ( x) = x 3 − x 2 − 8 x + 8 . (Hay que primero analizarla continuidad, aunque en este ejemplo no
sea necesario, y tener en cuenta las discontinuidades en la tabla).

f ' ( x) = 3x 2 − 2 x − 8 .

-

Calculamos la derivada primera:

-

Vemoscuándo es positiva y cuándo es negativa. Para ello, igualamos a cero y
obtenemos: x = −

4
3

x = 2 . Hacemos el estudio de signos en la derivada:

y

4

 − ∞,− 
3


4
 − ,2 3

(2, ∞ )

+

-

+

f’
f
Por tanto, f es creciente en
•

4
−4
(−∞,− ) ∪ ( 2, ∞) , y es decreciente en ( ,2) .
3
3

Extremos relativos:
Si una función f derivable tiene un extremo enx = a entonces f’(a) = 0.
El recíproco no es cierto. Por ejemplo, la derivada de f(x) = x3 en x = 0 es nula, y esta función no
tiene ningún máximo ni mínimo en x = 0.
Si f’(a) = 0 y f’’(a) < 0entonces f tiene un máximo relativo en x = a.
Si f’(a) = 0 y f’’(a) > 0 entonces f tiene un mínimo relativo en x = a.
Ejemplo: En la tabla donde estudiamos el crecimiento podemos observar que en x = −4

pasa

3

de ser creciente a decreciente, por lo que aquí hay un máximo, que sustituyendo en la función f
es P ( − 4 , 392 ) , mientras que en

3 27

en el punto
•

Q(2,−4).

x=2pasa de decreciente a creciente, existiendo un mínimo

(También se sabe con el signo de la segunda derivada).

Curvatura:
•
•

Si f’’(a) > 0 entonces f es cóncava en x = a.
Si f’’(a) < 0entonces f es convexa en x = a.

Ejemplo: Determina los intervalos de convexidad y concavidad de la función anterior.
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Calculamos la derivada segunda: f ' ' ( x ) = 6 x − 2 .

-

Vemos...