Representación gráfica y conjuntivas

Intervalo
Se denomina intervalo a todo subconjunto conexo de la recta real. Más precisamente, son las únicas partes I de R que verifican la siguiente propiedad:
si x e y pertenecen a I, x ≤ y, entonces para todo z tal que x ≤ z ≤ y, z pertenece a I. |
Notación
Para representar intervalos, usan habitualmente dos notaciones, por ejemplo, para representar el conjunto de los x tal quea ≤ x < b se puede representar [a; b) o bien [a; b[ . La primera es la vigente en el mundo anglosajón, la segunda en Francia y en la francofonía. La regla del corchete invertido resulta más intuitiva si uno se imagina que el corchete es una mano que tira hacia fuera o empuja hacia dentro, respectivamente, un extremo del intervalo. En el ejemplo anterior, a pertenece al intervalo mientras que bno.

Es un conjunto de números que se corresponden con los puntos de una recta o segmento, el que se encuentra un ordenamiento interno entre ellos. Los intervalos es el espacio que se da de un punto a otro en el cual se toman en cuenta todos lo puntos intermedios. Por ejemplo: en una recta tenemos un intervalo: [-2,2] entre este espacio se encuentran los números (-2-1,0,1,2) aquí se encuentraun intervalo.....ya que el espacio abarca una serie de números consecutivos que se corresponden entre sí.

También existe una regla mnemotécnica para el uso del paréntesis: si se dibuja sobre la recta real dos intervalos adyacentes, como (0; 1) y (1; 2) (es decir, se pinta la recta real y se coloca cuatro paréntesis donde corresponda), entre los dos intervalos cabe un signo 1 (o lo quecorresponda según los intervalos) cabe, apretado pero cabe. Mientras que si los dos intervalos son (0, 1] y [1, 2), o (0, 1] y (1, 2) el número no cabe, o cabe muy estrangulado. O sea, que si los dos intervalos son abiertos, el número 1 no pertenece a ninguno, y por tanto hay espacio para meterlo en medio.
Clasificación
Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas(intervalos abiertos, cerrados y semiabiertos) o según su características métricas (su longitud: nula, finita no nula, o infinita).
Aquí están todos los casos posibles, con a ≤ b, y x perteneciente al intervalo, y l su longitud:
Notación | Intervalo | Longitud (l) | Descripción |
| | | Intervalo cerrado de longitud finita. |
| | | Intervalo cerrado en a, abierto en b(semicerrado, semiabierto). |
| | | intervalo abierto en a, cerrado en b. |
| | | Intervalo abierto. |
| | | Intervalo (semi) abierto. |
| | | Intervalo (semi) cerrado. |
| | | Intervalo (semi) cerrado. |
| | | Intervalo (semi) abierto. |
| | | Intervalo a la vez abierto y cerrado. |
| | | Intervalo cerrado de longitud nula. Es un conjunto unitario. |
| x no existe| Sin longitud | Conjunto vacío. |

Un intervalo abierto o cerrado (pero no semiabierto) de longitud finita se puede también definir a partir de su centro y de su radio:
Si I =] a, b [, su centro es c = (a + b)/2, y su radio es r = (b - a)/2. a < x < b equivale a |x - c| < r; y se interpreta como la distancia entre x y c es menor que r; se nota x ε B (c, r); B para bola abierta,término que se generaliza a cualquier espacio métrico.
De la misma manera, I = [a, b] corresponde a la condición |x - c| ≤ r. En tal caso se habla de bola cerrada. Se nota este conjunto:
B (c, r) = {x ε R, |x - c| ≤ r}. Es la clausura topológica de la bola abierta B (c, r) = {x ε R, |x - c| < r}.
Cuando dos variables - pongamos x e y - toman sus valores en sendos intervalos I e J, eslegítimo preguntarse en que intervalo varían su suma, su diferencia, su producto y su cociente. Contestar a esta pregunto permitirá definir las cuatro operaciones sobre los intervalos.
Tomemos I = [a, b] y J = [c, d]. Entonces a ≤ x ≤ b, y c ≤ y ≤ d.
Podemos sumar las inegualdades: a + c ≤ x + y ≤ b + d. Lo que justifica que I + J = [a + c, b + d].
Para la diferencia, hay que...