Representación mediante la serie compleja de fourier

Tarea 2: Representación mediante la serie compleja de Fourier
Miguel Hernández Rosas 2 de febrero 2010

1.

Ejercicios
= (eu + e−u )π −π = e(ω−2πkF0 )πj − e−(ω−2πkF0 )πk + · · · − e−(ω−2πkF0)πj − e(ω−2πkF0 )πj = 2e(ω−2πkF0 )πj − 2e−(ω−2πkF0 )πj al hacer a = (ωπ − 2π 2 kF0 ) = 2[eaj − e−aj ] = 2 [cos a + j sen a + · · · Ck = Ck = = 1 Tp 1 2π
Tp 2 Tp − 2

1. Represente mediante la seriecompleja de Fourier la señala x(t) = cos ωt. Solución. Primero se procederán a encontrar Ck . Utilizando la fórmula general tenemos:

x(t)ej2πkF0 t dt

−(cos a − j sen a)] = j4 sen(ωπ − 2π 2 kF0 )Al regresar (2) a (1) tenemos 1 j4 sen(ωπ − 2π 2 kF0 ) 4π 1 Ck = sen(ωπ − 2π 2 kF0 ) ωπ − 2π 2 kF0
∞

(2)

π

cos(ωt)ej2πkF0 t dt
−π pi −π π −π π

1 2π 1 = 4π 1 = 4π

eωtj + e−ωtj j2πkF0 te dt 2 e(ωt−2πkF0 t)j + e−(ωt+2πkF0 t)j dt
π

Ck =

(3)

e(ω−2πkF0 )tj dt +
−π −π

e−(ω−2πkF0 )tj dt

Finalmente obtenemos x(t) =
k=−∞

sen(ωπ − 2π 2 kF0 ) j2πkF0 t e ωπ − 2π 2 kF0(4)

Al hacer la sustitución u = (ω − 2πkF0 )tj.

2. Obtener la representación en serie compleja de Fourier de la onda seno rectificado. Solucion. Para encontrar la función seno rectificado esnecesario encontrar primero las funciones que la componen. Comenzando con la definición de función valor absoluto tenemos: x(t) = t si t ≥ 0 −t si t < 0

π 1 1 eu du + 4π (ω − 2πkF0 )j −π 1 1 π = eu + e−u−π 4π (ω − 2πkF0 )j

π

=

e−u du
−π

(1)

Al desarrollar lo que se encuentra en el paréntesis de la ecuación (1) tenemos. 1

Al realizar la composición de la función valor absoluto con lafunción y(t) = A sen t es fácil obtener la función seno rectificado. De la siguiente manera: x ◦ y = x(y(t)) = x(sen t) = |A sen t| = A sen t si t ≥ 0 −A sen t si t < 0 (5)

Utilizando la definiciónexponencial del seno sen t = ejt − e−jt /2j. Tenemos para la integral de −π a 0.

0

=−
−π

ejt − e−jt −j2πkF0 t e dt 2j
0

= −

−1 2j
0 −π

e(1−2πkF0 )jt + · · ·
−π

La gráfica...