Representacion de Señales elementales

Representación de señales elementales

Representación de Señales arbitrarias en función de Señales Elementales

Muchas veces es conveniente disponer de una expresión para x(t) en función delas señales Rampa, Escalón e Impulso.
Para obtener esta expresión, primero se utilizan las señales elementales Puerta, Rectángulo, Signo e Impulso, para luego hacer las sustituciones respectivas enfunción de las señales Escalón y Rampa.
Es muy útil conocer entonces de algunas relaciones existentes entre estas señales elementales:
u(at) = u(t)
r(at) = (a)r(t) ; a > 0
u(at + b) = u(t + b/a)r(at + b) = (a) r(t + b/a) ; a > 0
(t) u(t) = r(t)
(t - a)u(t - a) = r(t - a)
(t-b)u(t-a) = r(t-a) - (b-a)u(t-a)
(t-a)u(t-b) = r(t-b) + (b-a)u(t-b)
g(a,b) = u(t - a) - u(t - b)
(t-a)g(a,b) =(t-a)[u(t-a) - u(t-b)]
rect(t/a) = g(-a/2 , a/2)
sgn(t) = 2u(t) – 1
Ejemplo:

x(t) = (t+3)g(-3,-2) + g(-2,0) - (t-1)g(0,2) - g(2,3) + (t-4)g(3,4)

x(t) = (t+3)[u(t+3)-u(t+2)] + [u(t+2)-u(t)] -(t-1)[u(t)-u(t-2)] - [u(t-2)-u(t-3)] + (t-4)[u(t-3)-u(t-4)]

x(t) = (t+3)u(t+3)-(t+3)u(t+2) + u(t+2)-u(t) - (t-1)u(t)+(t-1)u(t-2) - u(t-2)+u(t-3) + (t-4)u(t-3)-(t-4)u(t-4)

x(t) =r(t+3)-r(t+2)-u(t+2) + u(t+2)-u(t) - r(t)+u(t)+r(t-2)+u(t-2) - u(t-2)+u(t-3) + r(t-3) - u(t-3) - r(t-4)

x(t) = r(t+3) - r(t+2) - r(t) + r(t-2) + r(t-3) - r(t-4)

En el caso de las señales discretas se procedede forma análoga, prefiriéndose muchas veces expresar las señales en función de impulsos solamente.
Ejemplo:






Representación de Señales
mediante sus Componentes Par e ImparCuando una señal no presenta ningún tipo de simetría, esta siempre se puede descomponer en dos partes, una con Simetría Par y otra con Simetría Impar, de tal manera que:

x ( t ) = xp ( t ) + xi ( t )x [ n ] = xp [ n ] + xi [ n ]


Para obtener estas dos componentes se usan las siguientes relaciones:

    



Ejemplo:  


Componente Par:








Componente Impar:


x (...