REPRESENTACION R3

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REPRESENTACION GRAFICA EN R 3
Próximamente se estudiarán relaciones entre tres variables, está relación puede venir dada a
través de una ecuación o una función. Para visualizar mejor las relaciones siempre es conveniente
hacer una representación gráfica por lo que se estudiará el espacio tridimensional R 3 y la
representación de ecuaciones de este espacio.

SISTEMA DE COORDENADASTRIDIMENSIONAL Y EL
PRODUCTO CARTESIANO R 3

Recordemos que para situar un punto en el plano se necesitaban dos números reales. Si
usamos un sistema de coordenadas rectangular o cartesiano estos números vienen dados por una pareja
ordenada (a, b) donde a es la coordenada x y b la coordenada y. La pareja (a, b) son las coordenadas
cartesianas del punto P del plano. Para localizar un punto en elespacio se necesitan tres números
reales. Estos números están dados a partir de un sistema de referencia.
En el espacio también usaremos un sistema de coordenadas cartesiano o rectangular. Para
establecer un sistema de coordenadas cartesiano seleccionamos un punto llamado el origen, por él
haremos pasar tres rectas perpendiculares entre si, los cuales llamaremos ejes coordenados (eje x, eje y
yeje z) Una elección común de los ejes es la dada en la figura.

La dirección de la flecha indica la dirección positiva de los ejes. Para ver la ubicación de los
ejes puede pensar en el libro abierto a 90 grados en posición vertical. Mirando de frente el libro abierto,
el pie de la hoja del lado izquierdo representa la dirección positiva del eje x, el otro pie, la dirección
positiva del eje yy la línea de juntura entre las dos páginas es el eje z.
Comentario: Puede haber otra selección de ejes pero normalmente todas siguen la regla de la mano
derecha, la cual consiste en extender los dedos de la mano derecha, salvo del pulgar, en la dirección del
eje de las x en el sentido positivo y cerrando los dedos en la dirección de los y positivos, el pulgar
marca la dirección positiva deleje z.
Estos ejes determinan tres planos, el plano xy, el cual contiene el eje x y el eje y. Similarmente
el plano xz y el plano yz como ilustra la figura. Estos planos dividen el espacio en ocho regiones
llamadas octantes. El primer octante corresponde a la dirección positiva de los tres ejes.

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Otra forma de visualizar este sistema de referencia es observar una esquina inferior decualquier habitación. Esta esquina será el origen. Ubicándonos al frente de esa esquina, con vista hacia
ella, la pared de la izquierda es el plano xz, formado por el eje vertical z dirigido hacia el techo y el eje
x que llega hasta nosotros, el plano xy es el piso y el plano yz es la pared de la derecha. Es claro que el
eje y es la intersección del plano yz y el piso y la parte visible de estaintersección es la parte positiva
del eje y. Usted está observando sólo el primer octante. El piso no lo deja ver cuatro octantes que están
abajo y tiene otros tres en su piso que no logra ver debido a los planos xz y yz.
El producto cartesiano R 3 es el conjunto de todas las tríadas ordenadas de números reales
( x, y, z ) . Este producto cartesiano también es conocido como el espacio numéricotridimensional. Las
componentes son conocidas como las coordenadas. Similarmente a como ocurre en R 2 , una tríada
ordenada ( x, y, z ) de números reales se le puede asociar un único punto P del espacio geométrico
tridimensional y recíprocamente un punto P en el espacio geométrico se le hace corresponder una única
tríada ordenada. Esta última correspondencia se hace de manera análoga como en elsistema cartesiano
R 2 y es como sigue: la coordenada x es la distancia del punto P al plano yz (en R 2 era la distancia al
eje y), similarmente se determinan las otras dos coordenadas.
Como existe está relación uno a uno entre puntos en el espacio geométrico y el espacio numérico
tridimensional, hablaremos de
R 3 para referirnos indistintamente al espacio geométrico
tridimensional o al...