Representación matricial de una transformación lineal
Páginas: 3 (517 palabras)
Publicado: 9 de junio de 2015
5.3 Representación matricial de una trasformación lineal
Si A es una matriz de y está definida por Tx =Ax, entonces, T es una transformación lineal. Para toda transformación lineal de Rn en Rmexiste una matriz A de tal que Tx =Ax para todo x ∈ Rn. Si Tx = Ax, entonces nu T = NA e Im T = RA. Más aun, v(T) = dim nu T = v(A) y ⍴(T) = dim Im T = ⍴(A). Así se puede determinar el núcleo, laimagen, la nulidad y el rango de una trasformación lineal de Rn Rm determinando el espacio nulo y la imagen de la matriz correspondiente. Una vez que se sabe que Tx = Ax, se puede evaluar Tx paracualquier x en Rn mediante una simple multiplicación de matrices.
TEOREMA 1: Sea T: Rn Rm una transformación lineal. Existe entonces una matriz única , AT tal que
Demostración: Sea w1 = Te1, w2 = Te2, . .. ,wn = Ten. Sea AT la matriz cuyas columnas son w1, w2, . . . , wn y hagamos que AT denote también a la transformación de Rn Rm, que multiplica un vector en Rn por AT. Si
Entonces
De esta formaATe = wi para i = 1, 2, . . . ,n. De acuerdo al teorema 5.2.2, T y la transformación AT son la misma porque coinciden en los vectores básicos.
Ahora se puede demostrar que AT es única. Suponga que Tx =ATx y que Tx = BTx para todo x ∈ Rn. entonces ATx = BTx, o estableciendo CT = AT-BT, se tiene que CTx = 0 para todo x ∈ Rn. en particular, CTei = 0 para i = 1, 2, . . . , n. pero como se deduce de lademostración del teorema, CT es la columna i de CT. Así, cada una de las n columnas de CT es el m-vector cero, la matriz cero de . Esto nuestra que AT = BT.
Observación 1. En este teorema se suponeque todo vector en Rn y Rm está expresado en términos de los vectores de la base estándar en esos espacios. Si se eligen otras bases para Rn y Rm, por supuesto se obtendrá una matriz AT diferente.Observación 2. La demostración del teorema muestra que es sencillo obtener AT como la matriz cuyas columnas son los vectores Tei.
Definición 1. Matriz de transformación.
La matriz AT en el teorema 1...
Si A es una matriz de y está definida por Tx =Ax, entonces, T es una transformación lineal. Para toda transformación lineal de Rn en Rmexiste una matriz A de tal que Tx =Ax para todo x ∈ Rn. Si Tx = Ax, entonces nu T = NA e Im T = RA. Más aun, v(T) = dim nu T = v(A) y ⍴(T) = dim Im T = ⍴(A). Así se puede determinar el núcleo, laimagen, la nulidad y el rango de una trasformación lineal de Rn Rm determinando el espacio nulo y la imagen de la matriz correspondiente. Una vez que se sabe que Tx = Ax, se puede evaluar Tx paracualquier x en Rn mediante una simple multiplicación de matrices.
TEOREMA 1: Sea T: Rn Rm una transformación lineal. Existe entonces una matriz única , AT tal que
Demostración: Sea w1 = Te1, w2 = Te2, . .. ,wn = Ten. Sea AT la matriz cuyas columnas son w1, w2, . . . , wn y hagamos que AT denote también a la transformación de Rn Rm, que multiplica un vector en Rn por AT. Si
Entonces
De esta formaATe = wi para i = 1, 2, . . . ,n. De acuerdo al teorema 5.2.2, T y la transformación AT son la misma porque coinciden en los vectores básicos.
Ahora se puede demostrar que AT es única. Suponga que Tx =ATx y que Tx = BTx para todo x ∈ Rn. entonces ATx = BTx, o estableciendo CT = AT-BT, se tiene que CTx = 0 para todo x ∈ Rn. en particular, CTei = 0 para i = 1, 2, . . . , n. pero como se deduce de lademostración del teorema, CT es la columna i de CT. Así, cada una de las n columnas de CT es el m-vector cero, la matriz cero de . Esto nuestra que AT = BT.
Observación 1. En este teorema se suponeque todo vector en Rn y Rm está expresado en términos de los vectores de la base estándar en esos espacios. Si se eligen otras bases para Rn y Rm, por supuesto se obtendrá una matriz AT diferente.Observación 2. La demostración del teorema muestra que es sencillo obtener AT como la matriz cuyas columnas son los vectores Tei.
Definición 1. Matriz de transformación.
La matriz AT en el teorema 1...
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