requerimientos

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METODOS NUMERICOS CON SCILAB
H´ctor Manuel Mora Escobar
e
hectormora@yahoo.com hmmorae@unal.edu.co
www.hectormora.info
3 de enero de 2013

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Indice general
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NOTACION

VII

1. Preliminares

1

1.1. Repaso de algunos conceptos de c´lculo . . . . . . . . . . . . .
a

1

1.2. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3. Polinomio deTaylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5. Teorema espectral para matrices sim´tricas . . . . . . . . . . . 12
e
1.6. Notaci´n O grande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
o
1.7. Orden de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8. N´meros en un computador .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
u
1.9. Truncamiento y redondeo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.10. Error absoluto y relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.11. Errores lineal y exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.12. Condicionamiento de un problema . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.13. Teorema de punto fijo de Banach . . . . . . .. . . . . . . . . 23
2. Sistemas de ecuaciones lineales

25

2.1. En Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2. Notaci´n para submatrices en Scilab . . . . . . . . . . . . . . 27
o
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INDICE GENERAL

2.3. M´todos ingenuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
e
2.4. Sistema diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 29
2.5. Sistema triangular superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5.1. N´mero de operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
u
2.6. Sistema triangular inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.7. M´todo de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
e
2.7.1. N´mero de operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
u
2.8.Factorizaci´n LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
o
2.9. M´todo de Gauss con pivoteo parcial . . . . . . . . . . . . . . 45
e
2.10. Factorizaci´n LU =PA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
o
2.11. M´todo de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
e
2.11.1. Matrices definidas positivas . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.11.2. Factorizaci´n de Cholesky .. . . . . . . . . . . . . . . 57
o
2.11.3. N´mero de operaciones de la factorizaci´n . . . . . . . 63
u
o
2.11.4. Soluci´n del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
o
2.12. Soluci´n por m´
o
ınimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.12.1. En Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.12.2. Ecuaciones normales . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68
2.13. Sistemas tridiagonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.14. C´lculo de la inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
a
3. M´todos iterativos para sistemas de ecuaciones lineales
e

84

3.1. M´todo de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
e
3.2. Normas vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.2.1. EnScilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.3. Normas matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.3.1. En Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

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INDICE GENERAL

3.4. Condicionamiento de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.5. M´todo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
e3.6. M´todo iterativo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
e
3.7. M´todo de sobrerrelajaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
e
o
3.8. M´todos de minimizaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
e
o
3.9. M´todo del descenso m´s pendiente . . . . . . . . . . . . . . . 118
e
a
3.10. M´todo del gradiente conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . ....