requisitos

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Juli´n de la Horra
a
Departamento de Matem´ticas U.A.M.
a

1

Introducci´n
o

En las Ciencias Experimentales es muy frecuente que tengamos inter´s en
e
poder expresar una variable (variable respuesta o variable dependiente) en
funci´n de dos o m´s variables (variables explicativas o variables independio
a
entes). Por ejemplo, podemos estar interesadosen expresar:
• El peso de una persona en funci´n de su estatura y del n´mero medio
o
u
de calor´ diarias ingeridas.
ıas
• El peso de las aves en funci´n de su envergadura y de su longitud.
o
• El nivel medio de contaminaci´n en una regi´n en funci´n de las preo
o
o
cipitaciones medias anuales y de su ´
ındice de industrializaci´n.
o
• La presi´n atmosf´rica en un determinado lugaren funci´n de su lono
e
o
gitud y de su latitud.
• El n´mero de presas devoradas por un depredador (en un tiempo fijado)
u
en funci´n de la densidad de presas y del tiempo necesario para cazar
o
cada una de ellas.
El modelo matem´tico adecuado para expresar una variable en funci´n
a
o
de otras variables es la funci´n de varias variables. Igual que ocurr´ con
o
ıa
las funciones de unavariable, algunas de las herramientas asociadas a este
modelo nos permiten abordar y expresar muchos aspectos interesantes de la
relaci´n existente. Nos centraremos en las herramientas m´s sencillas: curvas
o
a
de nivel y derivadas parciales.

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Funci´n de dos variables
o

En general, estaremos interesados en representar una variable Z en funci´n
o
de n variables. Sin embargo, lanotaci´n se complica bastante cuando n > 2.
o
Por este motivo, la exposici´n de los conceptos la vamos a hacer con n = 2.
o
Las ideas se podr´ despu´s extender a n > 2.
ıan
e
Definici´n.- Una funci´n de dos variables, z = f (x, y), es el modelo
o
o
matem´tico que nos dice cu´l es el valor de la variable Z para cada posible
a
a
valor de las variables X e Y .
•
1

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Curvas de nivelEs posible hacer una representacion completa de una funci´n z = f (x, y)
o
en tres dimensiones. Sin embargo, muy a menudo, se recurre a representar
este tipo de funciones mediante sus curvas de nivel, porque son sencillas de
interpretar y mucho m´s f´ciles de representar.
a a
Definici´n.- La curva de nivel c de una funci´n z = f (x, y) est´ formada
o
o
a
por el conjunto de puntos (x,y) en el plano, tales que f (x, y) = c.
•
Una curva de nivel presentada aisladamente no proporciona mucha informaci´n sobre la funci´n de la que procede. Lo interesante es presentar un
o
o
conjunto de curvas de nivel para valores equidistantes de c. Por ejemplo,
eligiendo c = 0, 1, 2, ..., eligiendo c = 0, −0, 2, −0, 4, ... Los valores concretos
que elijamos para c depender´n de la funci´nque queramos estudiar. Por
a
o
ejemplo, la mayor o menor proximidad de las curvas de nivel nos proporcionar´ informaci´n sobre la mayor o menor pendiente de la funci´n. Las
a
o
o
curvas de nivel constituyen el recurso habitualmente utilizado en los mapas
topogr´ficos para representar la altitud en funci´n de la longitud y de la lata
o
itud, y en los mapas de isobaras para representar lapresi´n atmosf´rica en
o
e
funci´n tambi´n de la longitud y de la latitud.
o
e
Ejemplo 1.- Consideramos la funci´n z = f (x, y) = x2 + y 2 .
o
Si representamos sus curvas de nivel c = 0, 1, 2, 3, ...,√
√ veremos que vamos
obteniendo c´
ırculos conc´ntricos con radio r = 0, 1, 2, 3, ...
e

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Derivadas parciales, m´ximos y m´
a
ınimos

Uno de los objetivos importantes al trabajarcon funciones de una variable
era determinar sus m´ximos y m´
a
ınimos relativos. Este problema se abordaba
mediante la utilizaci´n de las derivadas.
o
Cuando trabajamos con una funci´n de varias variables, nos encontramos,
o
con gran frecuencia, con el mismo problema de determinar sus m´ximos y
a
m´
ınimos relativos. Tambi´n vamos a abordar este problema a trav´s de
e
e
las...