Res 03

Facultad de Ingenier´ıa

Universidad Santo Tom´
as

ICI-046 - C´
alculo II

9 de junio de 2014

Ejercicio Resuelto
Profesor: Mauricio Fuentes

Ayudante: Jonathan Monsalve

Se tiene un rect´
angulo alque se le adjunta en su parte superior un tri´angulo equil´atero, semejando la
forma de “una casa”. El per´ımetro de la figura es dado y fijo (L). Encuentre las dimensiones de la figura
que auguran´area m´
axima.
Soluci´
on
Considere las variables como en la figura:

x

y

La restricci´on del per´ımetro nos dice que
2x + 3y = L
√

area es
Recordando que el ´
area de un tr´
angulo equil´atero delado a es 43 a2 , la funci´on que describe el ´
√
3 2
A(x, y) = xy +
y
4
As´ı, nuestro Lagrangeano es
√
3 2
L(x, y, λ) = xy +
y − λ(2x + 3y − L)
4
Igualando a cero el gradiente, se obtiene el sistemade ecuaciones siguiente:

Lx = y − 2λ = 0
√
3
Ly = x +
y − 3λ = 0
2
Lλ = 2x + 3y − L = 0

(1)
(2)
(3)

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Universidad Santo Tom´
as

De (1), y = 2λ , entonces de (2),
x+
y sedespeja entonces x = (3 −

√

√

3λ − 3λ = 0

3)λ

Reemplazando en (3),

2(3 −

√

3)λ + 3 · 2λ − L = 0
√
(6 − 2 3 + 6)λ = L
√
(12 − 2 3)λ = L
√
2(6 − 3)λ = L
λ=

Racionalizando, λ =

1
√ L
2(6 − 3)

√6+ 3
66 L

Reemplazando el valor de λ, se encuentra entonces
√
√ (6 + 3)
L
x = (3 − 3)
66√
√
18 − 6 3 + 3 3 − 3
x=
L
√ 66
15 − 3 3
x=
L
66
√
5− 3
x =
L ≈ 0,1485L
22
∗

y el valor de y es directo,
√
6+3
y =
L ≈ 0,2343L
33
∗

Despu´es de un c´
alculo aritm´etico, se obtiene que el ´area ´optima es
√
6+ 3 2
A(x , y ) =
L ≈ 0,0586L2
132
∗

∗

Podemos verificar que este valor es efectivamente unm´aximo y no un m´ınimo.
Partiendo de la base que el teorema de Lagrange asegura que el punto (x∗ , y ∗ ) es de hecho un m´
aximo o
bien un m´ımino, bastar´
a comparar con alg´
un punto factible:

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Universidad Santo Tom´
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Por ejemplo, Si los lados fueran iguales, x = y, la restricci´on nos dar´ıa inmediatamente un punto
factible: (x, y) = L5 , L5
As´ı,
√

3 2
x
4
√
3
A(x,...