Res Men De Lgebra Y Geometr A Anal Tica

Unidad Nº 1: Matrices

Matriz: es un arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se denominan elementos de la matriz

Igualdad de matrices: 2 matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y sus elementos correspondientes son iguales

Operaciones con matrices:

Suma de matrices:
Sean A y B dos matrices del mismo orden, entonces la suma A + B es la matriz obtenida al sumar loselementos de ambas matrices que ocupan la misma posición.

Propiedades

I) A+B = B+A
II) A+(B+C) = (A+B)+C
III) A+0 = A

Producto por un escalar:
Sean A una matriz y k un escalar, el producto kA es la matriz que se obtiene al multiplicar cada elemento de A por k

Propiedades:

I) k.(A+B) = kA + kB
II) (k+k´).A = kA + k´A
III) (k.k´)A = k.(k´A) = (k´k).A

Producto entre matrices
Sean A de orden mxr yB de orden rxn, entonces el producto A.B es la matriz de orden mxn que se obtiene al sumar los productos entre elementos de cada fila de A por cada columna de B de manera ordenada.

Propiedades:

I) (A.B).C = A.(B.C)
II) A.B ≠ B.A
III) A.(B+C) = A.B + A.C

Potenciación de matrices:
Para calcular la potencia de una matriz, esta debe ser cuadrada

Propiedades:

I) A^m . A^n = A^m+n
II) (A^m)^n =A^m.n

Tipos de matrices:

Matriz nula: Es aquella en la cual todos sus elementos son 0

Matriz identidad: Es una matriz cuadrada que tiene 1 en todos los elementos de la D.P. y en los restantes 0

Vector fila: Es una matriz de orden 1xn

Vector columna: Es una matriz de orden mx1

Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos fuera de la D.P. son 0.

Matriz escalar: Es unamatriz en la que los elementos de la D.P. son todos iguales, y los que están fuera de ella son todos 0. (Ej: Identidad)






Matriz transpuesta: Es aquella matriz que se obtiene al intercambiar en forma ordenada filas por columnas

Propiedades:

I) (A^t)^t = A
II) (k.A)^t = k.A^t
III) (A+B)^t = A^t + B^t
IV) (A.B)^t = B^t . A^t

[(A.B)^t]ij = (B^t.A^t)ij

1º miembro:
[(A.B)^t]ij = (A.B)ji =aj1.b1i + aj2.b2i +…+ ajr.bri

2º miembro:
a´ij = aji ; b´ij = bji

(B^t.A^t) = b´i1.a´1j + b´i2.a´2j + …
= b1i.aj1 + b2i.aj2 + …
= aj1.b1i + aj2.b2i + …+ ajr.bri

Matriz inversa: Sea A una matriz cuadrada y B una matriz del mismo orden, si A.B = B.A = I, entonces A es una matriz no singular (invertible) y B es la inversa de A

Propiedades:

I) Unicidad de la inversa: Sean A, B y C matrices mxm, By C dos inversas de A:

A.B = I = B.A
A.C = I = C.A
A.B = I
C.(A.B) = C.I
(C.A).B = C
I.B = C
B = C
II) (A.B)‾¹ = B‾¹.A‾¹

(A.B).(B‾¹.A‾¹) = I
A.(B.B‾¹).A‾¹ = I
I = I
III) (A^t)‾¹ = (A‾¹)^t

A^t . (A‾¹)^t = (A‾¹)^t . A^t = I^t = I

A^t . (A‾¹)^t = (A‾¹.A)^t = I^t = I
(A‾¹)^t . A^t = (A.A‾¹)^t = I^t = I
IV) (k.A)‾¹ = 1/k.A‾¹
V) (A‾¹)‾¹ = A

Matriz simétrica: Una matriz cuadrada es simétrica si A =A^t

Propiedades:

I) Si A y B son simétricas => A + B es simétrica

A = A^t ; B = B^t

(A + B)^t = A^t + B^t = A + B

II) El producto de matrices simétricas por lo general NO es simétrico. Sólo es simétrico si A.B = B.A, es decir si las matrices conmutan.

III) Si A es simétrica e invertible, entonces A‾¹ es simétrica

(A‾¹)^t = (A^t)‾¹ = A‾¹

IV) El producto de una matriz por su transpuesta essiempre simétrico

(A.A^t)^t = A.A^t ; (A^t.A)^t = A^t.A

V) Sea A una matriz invertible, entonces A.A^t y A^t.A también son invertibles

VI) A + A^t es una matriz simétrica

Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si - A = A^t. Los elementos de su D.P. deben ser 0

I) Si A y B son antisimétricas => A + B es antisimétrica

II) Si A es antisimétrica e invertible, entonces A‾¹ esantisimétrica

(-A‾¹)^t = (-A^t)‾¹ = A‾¹

III) A – A^t es una matriz antisimétrica

Matriz hermitiana: Es una matriz cuadrada cuya transpuesta es igual a su conjugada

Matriz triangular: Una matriz cuadrada en la que todos los elementos arriba de la D.P. son 0 se denomina triangular inferior, y una matriz cuadrada en la que todos los elementos abajo de la D.P. son 0 se denomina triangular...