Residuo De Taylor

Residuo de la Ecuación de Taylor
Se describió anteriormente que la ecuación de Taylor se escribe como:

f(x i+1)=f(xi) + f’(xi)h + f’’(xi)h2/2! + f’’’(xi) h3/3! +…+fn(xi)hn/n!
donde podemos además decir
f(x i+1)≈f(xi)
Ro= f’(xi)h + f’’(xi)h2/2! + f’’’(xi) h3/3! +…+fn(xi)hn/n!
Sin embargo no resulta conveniente el manejar el residuo en formato infinito, por lo que
aproximaremos el residuo Ro comoun aproximado de la primera derivad por el intervalo,
o sea:
Ro ≈ f’(xi)h
f(x i+1)≈f(xi) + Ro
En esta expresión obviamos las derivadas de orden superior. La expresión anterior se
puede graficar como:

f(x)
Ro

Predicción de orden cero
f(xi)

X i+1

xi
h

Es claro que la pendiente de la línea de predicción exacta no es otra cosa que la división
de Ro entre el intervalo h.
El teorema de valor mediopara derivadas nos dice que si una función y su primera
derivada son continuas en el intervalo x(i) y x(i+1) , entonces existe por lo menos un punto
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Residuo de Series de Taylor

medio en la función y tiene una pendiente que se denota f’(₤) que es paralela a la línea
que une f(xi) y f (xi+1), así que nuestro gráfico anterior puede ahora representar lo
siguiente:
Pendientef’(₤i)
f(x)

Ro

f(xi)

xi

₤

X i+1
h

Por lo que tenemos que f’(₤)= Ro/h o también podemos expresar Ro= f’(₤)*h, ahora bien,
si recordamos el valor de Ro dado como

Ro=f(n+1)(₤) *h(n+1) /(n+1)!
Y lo comparamos con la derivación que hemos realizado, Ro= f’(₤)*h, vemos que se
encontró la versión de orden cero (n=0). Por lo tanto las versiones de órdenes superiores
se pueden definir por extensiónlógica del razonamiento utilizado.
Ro= f’(₤)*h (orden cero)
R1= f’’(₤)*h2/2! (primer orden )
R2= f’’’(₤)*h3/3! (segundo orden)
En cada caso ₤ será el valor de x que corresponde a la derivada de orden n+1 que hace
más exacta la ecuación.
Si examinamos la ecuación del residuo para el primer orden
R1= f’’(₤)*h2/2! Y recordamos que h= (xi+1 – xi)

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Residuo de Series de TaylorPodemos re escribir esta misma ecuación como:
R1= f’’(₤)*(xi+1 – xi)2/2!
R1= f’’(₤)*(xi+1 – xi) (xi+1 – xi)/2!
R1/(xi+1 – xi)= f’’(₤)*(xi+1 – xi)/2!, donde O= f’’(₤)/2!
R1/(xi+1 – xi)= O(xi+1 – xi), o
R1/(xi+1 – xi)= O h
R1/h= O h
Al término oh, se le conoce como el error de truncamiento, ahora si observamos la
función de serie de Taylor de primer orden, tenemos
f(x i+1)=f(xi) + f’(xi)h + R1
Despejandof’(xi), se tiene,
f´(xi)= [f(xi+1) – f(xi)]/h – R1/h
el término [f(xi+1) – f(xi)]/h se le conoce como la aproximación de primer orden y al
término R1/h lo hemos definido como (Oh) o error de truncamiento

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Residuo de Series de Taylor

Diferenciación Numérica
Hemos visto que de las series de Taylor y el residuo Ro, se obtiene una aproximación de la
primera derivada queexpresamos como
f´(xi)= [f(xi+1) – f(xi)]/(xi+1 – xi) – O*(xi+1 – xi)
A esta expresión se le conoce como diferencias finitas divididas que se puede expresar
también como:
f´(xi)= Δfi/h – O*(h)
Donde Δfi se denomina como la primera diferencia hacia adelante y h es el tamaño del
paso o incremento; lo que representa la longitud del intervalo sobre la cual se realiza la
aproximación. Se le llama diferenciahacia adelante porque los datos i y i+1 son utilizados
para estimar la derivada y el término completo Δfi/h se le conoce como primera diferencia
finita dividida.
La diferencia dividida hacia adelante es sólo una de las tantas que se pueden desarrollar a
partir de las series de Taylor para aproximas los valores de las derivadas numéricas.
Aproximación a la primera derivada con diferencia haciaatrás
La series de Taylor se expanden hacia atrás para calcular un valor anterior (xi-1) sobre base
al valor actual (xi)
f(x i-1)=f(xi) - f’(xi)h + f’’(xi)h2/2! - f’’’(xi) h3/3! +…+fn(xi)hn/n!

f(x i-1)=f(xi) - f’(xi)h + R
podemos re escribir la ecuación para determinar f’(x) como:
f’(xi)h= f(xi)- f(x i-1) + R
f’(xi)= [f(xi)- f(x i-1)]/h + R/h
f’(xi)= Δf/h + O(h)
El término Δf/h se le conoce como...