Residuos cuadráticos y no cuadráticos

Universidad de Puerto Rico
Recinto de Mayagüez Departamento de Matemáticas

Residuos cuadRáticos y no cuadRáticos

Kenneth J. Ayala Cruz MATE-3040 Sec.066 Prof. Keith Wayland

Residuoscuadráticos y no cuadráticos
Matemáticos que aportaron al tema:

Carl friedrich Gauss nació el 30 de abril de 1777en Brunswick, Alemania y murió el 23 de febrero de 1855 en Gottingen Hannover, Alemania.Entre sus grandes aportaciones se encuentra la que hizo a la Teoría de Números a sus 19 años con la Ley de Reciprocidad Cuadrática en la cual desarrollo el lema que lleva su nombre el cual daba otrocriterio para determinar que si un entero a es relativamente primo a p este es un residuo cuadrático de p.

Leonhard Euler nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza y murió el 18 de septiembre de1783 en San Petersburgo, Rusia. Este hizo grandes y variadas aportaciones a la Teoría de Números entre esas su teorema, la función Φ y para los residuos cuadráticos el criterio que lleva su nombreque es el que usaremos a continuación para saber cuando un entero a es un residuo cuadrático de un primo p.

Definiciones, Lemas y Teoremas Importantes: 1. Si m es un entero positivo, decimos que unentero a es un residuo cuadrático de m si (a, m)=1 y la congruencia x2 tiene solución. Si la congruencia x2 no

tiene solución decimos que a “no es un residuo cuadrático” de m.

2. Sea p un primoimpar y a sea un entero relativamente primo a p entonces el Símbolo de Legendre esta definido por:

=

Teorema 1: Criterio de Euler Sea p un primo impar y sea a un entero positivo no

divisiblepor p entonces

Teorema 2: Sea p un primo impar con a y b enteros no divisibles entre p entonces

Demostración: Si

( Demostración: Por el criterio de Euler sabemos

Pero también sabemos:Por tanto,

Pero como los únicos valores posibles de los símbolos de legendre son concluir que

podemos

Demostración: Sabemos que

Lema de Gauss : Sea p un primo impar y a un entero con...